Пусть . Рассмотрим функцию вида:
(9)
При :
При : ,
При используем тригонометрическое тождество
Пусть многочлен степени . Получим рекурентное соотношение, связывающее .
Сложим почленно эти равенства и перенесем в другую сторону. Получим
(10)
Полагая в (10) , получим
(11)
Из (11) следует, что многочлен степени . Коэффициент при равен .
Корни многочлена Чебышева :
(12)
Формула (12) дает различных значений при . Значение при других значениях совпадает с одним из значений из указанных. Например, при получаем то же значение, что и при :
Значения при совпадают со значениями при и т.д.
на отрезке [-1,1] равен 1. Он достигается в точках, когда
.
, (13)
Покажем, что среди всех многочленов степени n со старшим коэффициентом 1 многочлен наименее отклоняется от нуля на отрезке [-1,1].
Покажем, что для любого со старшим коэффициентом 1
.
Разность есть многочлен степени . В точках принимает поочередно значения +1, -1. Если , то разность в точках будет принимать поочередно положительные и отрицательные значения и будет иметь нулей (между значениями ). Получаем противоречие.