Пусть - разбиение отрезка .
, - заданные значения.
Сплайном первой степени называется :непрерывная на отрезке , линейная на каждом частичном промежутке функция. Его обозначение . Интерполяционным для данной функции называется сплайн, удовлетворяющий условиям , .
График линейного интерполяционного сплайна - это ломаная, проходящая через заданные точки.
Пусть , . Выражение для сплайна на этом промежутке:
Остаточный член : .
Оценка остаточного члена зависит от дифференцируемых свойств функции .
Пусть . Обозначение
- колебание функции на
Справедлива следующая лемма:
Лемма (вариант теоремы о среднем):
Пусть . Если величины одинакового знака, то существует такое, что
С помощью этой леммы доказывается следующая теорема об оценке остаточного члена линейного интерполяционного сплайна.