Пусть на задана последовательность сеток : , , которая удовлетворяют условию при . Для строится интерполяционный сплайн . Интерполяционный процесс сходится, если
при для любой функции из некоторого класса . Отсюда вытекает возможность интерполяции с наперед заданной точностью:
.
Преимущество по сравнению с интерполяционными многочленами: из оценки погрешности следует сходимость.
Пусть . По доказанной теореме .
По определению при , поэтому процесс интерполяции линейными сплайнами сходится на множестве непрерывных функций по произвольной последовательности сеток .
Если , , то . Сходимость порядка .