Пусть существует , непрерывная на .
По формуле Тейлора: .
Интегрируя, получаем:
(60)
Обозначим .
Используем вариант теоремы о среднем, который имеет вид:
если непрерывна и - интегрируема, то , где .
Пусть . Имеем .
(61)
Пусть . Имеем и оценка для будет того же вида (61).
Таким образом, (61) - оценка погрешности формул правых и левых прямоугольников.
Оценим погрешность для формулы средних прямоугольников.
Пусть существует . По формуле Тейлора имеем:
.
Интегрируя, получаем
Так как, , то
. Отсюда следует оценка
(62)
Для повышения точности квадратурных формул можно промежуток разбить точками , , на частичные промежутки, к каждому из которых применяется формула прямоугольников
, , (63)
Суммируя по , получаем обобщенную формулу прямоугольников.
(64)
при - формула левых прямоугольников,
при - формула правых прямоугольников,
при - формула средних прямоугольников.
Оценка остаточного члена для обобщенной формулы получается на основе оценок (61) или (62) соответственно.
При , :
(65)
При :
Из оценок (65) следует, что выбирая достаточно большое число точек разбиения (т.е. делая достаточно малым) можно получить результат с необходимой точностью.