Рассмотрим краевую задачу
(22)
(23)
Рассмотрим также задачу Коши для уравнения (22) с начальными условиями
, (24)
где - угол наклона касательной к интегральной кривой в точке . Считая решение задачи Коши (22),(24) зависящим от параметра , т.е. , надо найти такое значение параметра , при котором (т.е. при котором интегральная кривая попадет в точку с координатами ). Тогда решение задачи Коши совпадет с решением краевой задачи (22),(23). Условие попадания интегральной кривой в точку можно сформулировать в виде нелинейного уравнения относительно неизвестного :
(25)
Уравнение (25) отличается от обычных уравнений тем, что функцию нельзя представить аналитическим выражением, она выражается через решение задачи Коши (22),(24). Однако для решения (25) можно использовать рассмотренные ранее известные приближенные методы, в том числе простейший метод дихотомии.
Прежде всего надо определить исходный отрезок , на концах которого функция принимает значения разных знаков. Такой отрезок должен содержать в себе корень уравнения . Далее для снова решается задача Коши, определяется знак и в соответствии с этим выбирается новый отрезок - или - на котором функция меняет знак, и так далее до тех пор, пока разность двух последовательных приближений не станет меньше заданной величины . Название "метод стрельбы" связано с тем, что здесь как бы проводится "пристрелка" решения задачи Коши по углу наклона интегральной кривой в начальной точке отрезка. Этот алгоритм применим, если решение задачи Коши (22),(24) не слишком чувствительно к изменению .
Для решения задачи Коши (22),(24) можно использовать любой из рассмотренных ранее методов, записав задачу в виде системы уравнений 1-го порядка:
.
Другой вариант метода стрельбы можно получить, используя линеаризацию по Ньютону уравнения (25). Пусть - некоторое приближение к , тогда
,
поэтому
,
и можно предложить следующий алгоритм последовательных приближений:
.
Производная может быть заменена в последнем выражении разностной производной . Такой вариант метода Ньютона называется методом секущих:
.
[О комплексе|Теория|Практикум|Справочник по MathCAD'у|Об авторах]
[Home|Кафедра|ПетрГУ]
[Home|Кафедра|ПетрГУ]
- явные, - неявные.
[О комплексе|Теория|Практикум|Справочник по MathCAD'у|Об авторах]
[Home|Кафедра|ПетрГУ]