Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение второго порядка в самосопряженной форме
(28)
на интервале с краевыми условиями первого рода:
(29)
Если , , то такая краевая задача описывает стационарное распределение тепла в стержне ( - температура в точке , - коэффициент теплопроводности). Задача имеет единственное решение, если - кусочно-непрерывные функции. Возможны также другие типы краевых условий:
(30)
При эти условия называются краевыми условиями второго рода, при - условиями третьего рода.
Введем на отрезке равномерную сетку
и запишем трехточечную разностную схему для краевой задачи (28)-(29) в прогоночном виде
, , (31)
где коэффициенты зависят от значений функций в узлах сетки, а также от шага .
Перепишем разностную схему (31) в виде
, , (32)
где . Схема называется однородной, если ее коэффициенты во всех узлах сетки для любого линейного дифференциального уравнения вычисляются по одним и тем же правилам. Для однородной схемы удобна система безиндексных обозначений:
(33)
Здесь .
Найдем погрешность аппроксимации схемы (33):
Пользуясь теперь разложением
получаем:
,
Тогда погрешность аппроксимации предстанет в виде:
Таким образом, схема (33) будет иметь второй порядок аппроксимации, если будут выполнены условия:
,
,
Например, эти условия выполняются при
(34)
где . Действительно,
,
поэтому
, .