Распределение Рэлея введено Дж. У. Рэлеем (1880) в связи с задачей сложения гармонических колебаний со спиральными фазами. Закон Рэлея применяется для описания неотрицательных величин, в частности, когда случайная величина является радиусом - вектором при двухмерном гауссовом распределении. В ткацком производстве закон Рэлея широко применяется для анализа геометрической формы, например некруглости, нецилиндричности, эксцентриситета намотки на сновальных валах и ткацких навоях. Также встречается в применениях теории вероятностей, например к радиотехнике.
Распределение является геометрической суммой случайных величин , подчиненных закону Гаусса с параметрами : .
Плотность вероятности распределения Рэлея имеет вид:
(2.3.1)
где - среднее квадратическое отклонение исходного двухмерного распределения =). Значение является параметром закона Рэлея.
Максимальное значение плотности равно и достигается при (на рис.2.3.1 даны графики плотности распределения Рэлея при различных ).
Рис.2.3.1 графики плотности распределения Рэлея при различных
Функция распределения имеет вид: (2.3.2)
При замене новой переменной получим плотность вероятности и функцию распределения нормированного закона Рэлея:
(2.3.3)
(2.3.4)
Графики нормированной плотности вероятности и функции распределения показаны на рис. 2.3.2.
Дифференциальная кривая (рис. 2.3.2,а) имеет положительную асимметрию и более острую вершину, чем гауссово распределение.
Рис.2.3.2. Плотность вероятности (а) и функция распределения (б) нормированного закона Рэлея.
Вычислим математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение:
1. Математическое ожидание.
Следовательно , (2.3.5)
2.Дисперсия.
.
.
Следовательно,
(2.3.6)
3.Среднее квадратическое отклонение.
(2.3.7).
Вычислим асимметрию и эксцесс:
1.Ассиметрия.
, где .
Следовательно ,
(2.3.8)
2.Эксцесс.
, где .
Следовательно,
(2.3.9)
Нормированное рэлеевское распределение не зависит от параметра и легко табулируется.