Однофакторный дисперсионный анализ.

 

Однофакторная дисперсионная модель имеет вид:

 

x_ij = μ + F_j + ε_ij, (1)

 

где х_ij – значение исследуемой переменой, полученной на i-м уровне фактора (i=1,2,...,т) c j-м порядковым номером (j=1,2,...,n);

F_i – эффект, обусловленный влиянием i-го уровня фактора;

ε_ij – случайная компонента, или возмущение, вызванное влиянием неконтролируемых факторов, т.е. вариацией переменой внутри отдельного уровня.

 

Основные предпосылки ДА:

- математическое ожидание возмущения ε_ij равно нулю для любых i, т.е.

 

M(ε_ij) = 0; (2)

 

- возмущения ε_ij взаимно независимы;

- дисперсия переменной x_ij (или возмущения ε_ij) постоянна для
любых i, j, т.е.

D(ε_ij) = σ²; (3)

 

- переменная x_ij (или возмущение ε_ij) имеет нормальный закон
распределения N(0;σ²).

Влияние уровней фактора может быть как фиксированным или систематическим (модель I), так и случайным (модель II).

Пусть, например, необходимо выяснить, имеются ли сущест­венные различия между партиями изделий по некоторому показа­телю качества, т.е. проверить влияние на качество одного фактора - партии изделий. Если включить в исследование все партии сырья, то влияние уровня такого фактора систематическое (модель I), а полученные выводы применимы только к тем отдельным парти­ям, которые привлекались при исследовании. Если же включить только отобранную случайно часть партий, то влияние фактора случайное (модель II). В многофакторных комплексах возможна смешанная модель III, в которой одни факторы имеют случайные уровни, а другие – фиксированные.

Пусть имеется m партий изделий. Из каждой партии отобрано соответственно n₁, n₂, …, n_m изделий (для простоты полагается, что n₁=n₂=...=n_m=n). Значения показателя качества этих изделий представлены в матрице наблюдений:

x₁₁ x₁₂ … x_1n

x₂₁ x₂₂ … x_2n

………………… = (x_ij), (i = 1,2, …, m; j = 1,2, …, n).

x_m1 x_m2 … x_mn

 

Необходимо проверить существенность влияния партий из­делий на их качество.

Если полагать, что элементы строк матрицы наблюдений – это численные значения случайных величин Х₁,Х₂,...,Х_m, выражающих качество изделий и имеющих нор­мальный закон распределения с математическими ожиданиями соответственно a₁,а₂,...,а_m и одинаковыми дисперсиями σ², то данная задача сводится к проверке нулевой гипотезы Н₀: a₁=a₂ =...= а_m, осуществляемой в ДА.

Усреднение по какому-либо индексу обозначено звездочкой (или точкой) вместо индекса, тогда средний показатель качества изделий i-й партии, или групповая средняя для i-го уровня факто­ра, примет вид:

 

, (4)

 

где _i* – среднее значение по столбцам;

_ij – элемент матрицы наблюдений;

n – объем выборки.

 

А общая средняя:

. (5)

Сумма квадратов отклонений наблюдений х_ij от общей средней _** выглядит так:

 

²=²+²+

+2². (6)

 

или

Q = Q₁ + Q₂ + Q₃.

 

Последнее слагаемое равно нулю

=0. (7)

так как сумма отклонений значений переменной от ее средней равна нулю, т.е.

 

²=0.

 

Первое слагаемое можно записать в виде:

 

В результате получается тождество:

 

Q = Q₁ + Q₂, (8)

где - общая, или полная, сумма квадратов отклонений;

- сумма квадратов отклонений групповых средних от общей средней, или межгрупповая (факторная) сумма квадратов отклонений;

- сумма квадратов отклонений наблюдений от групповых средних, или внутригрупповая (остаточная) сумма квадратов отклонений.

В разложении (8) заключена основная идея ДА. Применительно к рассмат­риваемой задаче равенство (8) показывает, что общая вариа­ция показателя качества, измеренная суммой Q, складывается из двух компонент – Q₁ и Q₂, характеризующих изменчивость этого показателя между партиями (Q₁) и изменчивость внутри партий (Q₂), характеризующих одинаковую для всех партий вариацию под воздействием неучтенных факторов.

В ДА анализируются не сами суммы квадратов отклонений, а так называемые средние квад­раты, являющиеся несмещенными оценками соответствую­щих дисперсий, которые получаются делением сумм квадратов отклонений на соответствующее число степеней свободы.

Число степеней свободы определяется как общее число наблюдений минус число связывающих их уравне­ний. Поэтому для среднего квадрата s₁², являющегося несме­щенной оценкой межгрупповой дисперсии, число степеней свободы k₁=m-1, так как при его расчете используются m групповых средних, связанных между собой одним уравнением (5). А для среднего квадрата s₂², являющегося несмещенной оценкой внутригрупповой дисперсии, число степеней свободы k₂=mn-m, т.к. при ее расчете используются все mn наблюдений, связанных между собой m уравнениями (4).

Таким образом:

 

= Q₁/(m-1),

= Q₂/(mn-m).

 

Если найти математические ожидания средних квадратов и , подставить в их формулы выражение x_ij (1) через парамет­ры модели, то получится:

(9)

 

т.к. с учетом свойств математического ожидания

а

 

 

 

(10)

 

 

Для модели I с фиксированными уровнями фак­тора F_i(i=1,2,...,m) – величины неслучайные, поэтому

 

M(S) =² /(m-1) +σ².

 

Гипотеза H₀ примет вид F_i = F_*(i = 1,2,...,m), т.е. влияние всех уровней фактора одно и то же. В случае справедливости этой гипотезы

 

M(S)= M(S)= σ².

 

Для случайной модели II слагаемое F_i в выражении (1) – величина случайная. Обозначая ее дисперсией

 

 

получим из (9)

 

(11)

 

и, как и в модели I

M(S)= σ².

 

В таблице 1.1 представлен общий вид вычисления значений, с помощью дисперсионного анализа.

 

Таблица 1.1 – Базовая таблица дисперсионного анализа

Компоненты дисперсии	Сумма квадратов	Число степеней свободы	Средний квадрат	Математическое ожидание среднего квадрата
Межгрупповая		m-1	= Q1/(m-1)
Внутригрупповая		mn-m	= Q2/(mn-m)	M(S)= σ2
Общая		mn-1

 

Гипотеза H₀ примет вид σ_F² =0. В случае справедливости этой гипотезы

 

M(S)= M(S)= σ².

В случае однофакторного комплекса как для модели I, так и модели II средние квадраты S² и S², являются несмещенными и независимыми оценками одной и той же дисперсии σ².

Следовательно, проверка нулевой гипотезы H₀ свелась к проверке существенности различия несмещенных выборочных оценок Sи Sдисперсии σ².

Гипотеза H₀ отвергается, если фактически вычисленное зна­чение статистики F = S/Sбольше критического F_α:K1:K2, опреде­ленного на уровне значимости α при числе степеней свободы k₁=m-1 и k₂=mn-m, и принимается, если F < F_α:K1:K2 .

 

Применительно к данной задаче опровержение гипотезы H₀ означает наличие существенных различий в качестве изделий различных партий на рассматриваемом уровне значимости.

Для вычисления сумм квадратов Q₁, Q₂, Q часто бывает удобно использовать следующие формулы:

 

(12)

 

(13)

 

(14)

т.е. сами средние, вообще говоря, находить не обязательно.

 

Таким образом, процедура однофакторного ДА состоит в проверке гипотезы H₀ о том, что имеется одна группа однородных экспериментальных данных против альтернативы о том, что таких групп больше, чем одна. Под однородностью понимается одинаковость средних значений и дисперсий в любом подмножестве данных. При этом дисперсии могут быть как известны, так и неизвестны заранее. Если имеются основания полагать, что известная или неизвестная дисперсия измерений одинакова по всей совокупности данных, то задача однофакторного дисперсионного анализа сводится к исследованию значимости различия средних в группах данных.