Показатели вариации

Средние величины не являются безукоризненной характеристикой изучаемых совокупностей. За ними скрывается колеблемость, вариация индивидуальных значений признаков вокруг средней.

Вариацией признаков называется различие численных значений у отдельных единиц совокупности.

В одних случаях отдельные значения признака могут незначительно отличаться друг от друга и от средней; в других, наоборот, - эти различия значительны.

Для характеристики размера вариации используются специальные показатели колеблемости:

1. размах вариации (R);

2. среднее линейное отклонение (d);

3. средний квадрат отклонения (дисперсия);

4. среднее квадратическое отклонение();

5. коэффициент вариации (V).

Показатели d, , как и средние величины, могут быть простыми и взвешенными, чем меньше d и тем однороднее совокупность

 

1) Размах вариации (R) - величина разности между максимальным и минимальным значениями признака (R=).

Этот показатель представляет собой разность между максимальным и минимальным значениями признаков и характеризует разброс элементов совокупности. Размах улавливает только крайние значения признака в совокупности, не учитывает повторяемость его промежуточных значений, а также не отражает отклонений всех вариантов значений признака. Размах часто используется в практической деятельности, например, различие между max и min пенсией, заработной платой в различных отраслях и т.д.

2) Среднее линейное отклонение (d) - средняя арифметическая абсолютных отклонений индивидуальных значении признака от среднего значения.

Формула среднего линейного отклонения

Простая ;

Взвешенная

 

Среднее линейное отклонение показывает, насколько в среднем отличаются индивидуальные значения признака от среднего их значения. В практических расчетах среднее линейное отклонение используется для оценки ритмичности производства, равномерности поставок и др.

3) Средний квадрат отклонений - дисперсия () представляет собой средний квадрат отклонений индивидуальных значений признаков от их средней величины.

Дисперсия является общепринятой мерой вариации. В зависимости от исходных данных дисперсия также определяется по формуле простой и взвешенной

Простая ;

 

Взвешенная

 

При использовании взвешенной средней для расчета дисперсии в интервальных рядах распределения в качестве вариантов значений признака используются серединные значения (середины интервалов), не являющиеся средним значением в группе. В результате получают приближенное значение дисперсии.

Дисперсия как базовый показатель вариации обладает рядом вычислительных свойств, позволяющих упростить её расчет.

К ним относятся:

• дисперсия постоянной величины равна 0;

• дисперсия не меняется, если все варианты увеличить или уменьшить на одно и то же число А;

• если все варианты умножить (разделить) на число А, то дисперсия увеличится (уменьшится) в A в квадрате раз.

Размерность дисперсии соответствует квадрату размерности исследуемого признака, поэтому данный показатель не имеет общепринятой экономической интерпретации.

 

Для сохранения экономического смысла рассчитывается ещё один показатель вариации – среднее квадратическое отклонение.

 

4) Среднее квадратическое отклонение ( - сигма) равно квадратному корню из среднего квадрата отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической. Его формула

 

Для первичного ряда

Для ряда распределения

 

Среднее квадратическое отклонение является именованной величиной, имеет размерность усредняемого признака, экономически хорошо интерпретируется.

Используется для оценки надежности средней: чем меньше cреднее квадратическое отклонение σ, тем надежнее cреднее значение признака x , тем лучше средняя представляет исследуемую совокупность.

Для распределений, близких к нормальным между средним квадратическим отклонением и средним линейным отклонением существует следующая зависимость:

σ ≈ 1,25 ⋅ d.

Среднее квадратическое отклонение также, как и среднее линейное, показывает, насколько в среднем отличаются индивидуальные значения признака от среднего значения. По величине среднее квадратическое отклонение превышает среднее линейное. В статистике для измерения вариации используют среднее квадратическое отклонение.

Размах вариации, среднее линейное отклонение и среднее квадратическое отклонение выражаются в именованных числах, в которых выражены значения признака. Они характеризуют абсолютную меру вариации.

Их нельзя использовать для сравнения степени вариации по одному и тому же признаку в двух группах с разным уровнем средних, а также для сравнения вариаций двух различных признаков в одной группе.

В этих случаях используется коэффициент вариации.

5) Коэффициент вариации

Он показывает, на сколько процентов в среднем индивидуальные значения отличаются от средней арифметической. В известной степени коэффициент является критерием надежности средней, если он велик (превышает 40%), то это свидетельствует о сильной колеблемости в величине признака у отдельных единиц группы, а следовательно, средняя недостаточно надежна.

Коэффициент вариации используется для характеристики однородности исследуемой совокупности. Статистическая совокупность считается количественно однородной, если коэффициент вариации не превышает 33% .

Коэффициент вариации - это величина относительная, что удобно для сравнения вариаций в любых совокупностях.