Анализ и выравнивание рядов динамики
Уровни любого ряда динамики формируются под совместным влиянием факторов, различных как по характеру, так и силе воздействия. В первую очередь необходимо выделить факторы эволюционного характера, оказывающие постоянное воздействие и определяющие общее направление развития явления,его долговременную эволюцию. Такие изменения динамического ряда называют основной тенденцией развития или трендом.
Вторую группу факторов составляют факторы осциллятивного характера, оказывающие периодическое воздействие.
Они вызывают циклические и сезонные колебания уровней динамического ряда.
Циклические (или периодические) долговременные колебания –это регулярные колебания, вызываемые постоянно действующими причинами, например, циклы экономической конъюнктуры. Схематично циклические колебания можно представить в виде синусоиды
Сезонные колебания– колебания, периодически повторяющиеся в некоторое определенное время каждого года, в определенные дни каждого месяца или в определенные часы суток. Они могут вызываться природно-климатическими условиями, действием экономических, культурных и иных факторов.
Последней группой факторов, влияющих на ряд динамики являются факторы, вызывающие нерегулярные колебания уровней. Эти факторы подразделяются в свою очередь на:
• вызывающие спорадические изменения уровней(война, экологические катастрофы, эпидемии и т.д.),
• случайные, слабо воздействующие, второстепенные факторывызывающие случайные разнонаправленные изменения уровней.
Первая задача, которая возникает при анализе рядов динамики, заключается в выявлении и описании основной тенденции развития изучаемого явления (тренда).
Трендом называется плавное и устойчивое изменение уровней явления во времени, свободное от случайных колебаний.
Изучение тренда включает в себя два этапа:
1. Проверка ряда на наличие тренда
2. Выравнивание ряда динамики и непосредственное выделение тренда.
В настоящее время для проверки наличия тренда известно около десятка критериев, различающихся как по мощности, так и по сложности математического аппарата. Наиболее часто используются метод, основанный на проверке разности средних двух разных частей одного и того же ряда (используется t-критерий Стьюдента) и второй метод Фостера-Стюарта.
Для непосредственного выявления тренда используют следующие методы:
• метод укрупнения интервалов;
• метод скользящей средней;
• метод аналитического выравнивания.
Все перечисленные методы относятся к группе методов сглаживания, предполагающих наличие в исходном ряду динамики только одной компоненты – тренда.
Метод укрупнения интерваловявляется одним из наиболее простых методов непосредственного выявления основной тенденции. При использовании этого метода ряд динамики, состоящий из мелких интервалов, заменяется рядом, состоящим из более крупных интервалов.
Так как на каждый уровень исходного ряда влияют факторы, вызывающие их разнонаправленное изменение, то это мешает видеть основную тенденцию. При укрупнении интервалов влияние факторов нивелируется, и основная тенденция проявляется более отчетливо. Расчет среднего значения уровня по укрупненному интервалу осуществляется по формуле простой средней арифметической.
Недостатком этого способа является то, что сокращается число уровней ряда, а это не позволяет учитывать изменения внутри укрупненного интервала. К его преимуществам можно отнести сохранение природы явления.
Метод скользящей среднейпредполагает замену исходного ряда теоретическим, уровни которого рассчитываются по формуле скользящей средней. Скользящая средняя относится к подвижным динамическим средним, вычисляемым по ряду при последовательном перемещении на один интервал. При этом, как и в предыдущем методе, происходит укрупнение интервалов. Число уровней, по которым укрупняется интервал, называется диапазоном укрупнения, интервалом или периодом сглаживания α. Средняя может применятся простая и взвешенная.
В основу расчета берут любое число периодов, всё зависит от характера динамики и длительности ряда
и т. д.
Эти методы дают возможность определить общую тенденцию развития явления, освобожденную от случайных и волнообразных колебаний, но не позволяют получить количественного описания тренда исследуемого ряда. Для получения обобщенной статистической модели тренда применяют метод аналитического выравнивания.
Целью аналитического выравнивания является определение аналитической или графической зависимости. Выравнивание ведется по разным уравнениям: прямой, параболе, показательной кривой, гиперболе и др. (их называют полиномы).
Функция выбирается таким образом, чтобы она давала содержательное объяснение изучаемого процесса.
Подбор функции обычно осуществляется методом наименьших квадратов (МНК), в соответствии с которым наилучшим образом тренд описывает временная функция, обеспечивающая минимальную величину суммы квадратов отклонений эмпирических уровней ряда от соответствующих уровней теоретического ряда:
где yi - фактические уровни;
- выровненные по функции уровни ряда (т.н. теоретические).
Уравнение прямой используют в тех случаях, когда стабильны абсолютные приросты. Оно имеет следующий вид:
где 
— теоретическое значение выровненного ряда;
a,b - параметры уравнения.
Параметры уравнения находятся методом наименьших квадратов, в соответствии с которым получают систему нормальных уравнений:
 |
Для решения системы можно использовать любой известный метод, но предварительно необходимо решить проблему замены показателей времени, что позволит значительно упростить расчет параметров.
Хронологические показатели заменяются числовыми аналогами таким образом, чтобы сумма новых показателей времени по ряду была равна нулю.
При нечетном числе уровней за начало отсчета t=0 принимают центральный интервал. Например,
2000 г. 2001 г. 2002 г. 2003 г. 2004 г. 2005 г. 2006 г.
-3 -2 -1 0 +1 +2 +3
При четном числе уровней значения условных уровней будут выглядеть следующим образом:
2000 г. 2001 г. 2002 г. 2003 г. 2004 г. 2005 г.
-3 -2 -1 +1 +2 +3
Применение условных показателей позволяет упростить систему уравнений до вида:
 |
Таким образом, параметры нашего уравнения будут равны:
Параметр a в линейной трендовой модели обычно интерпретации не имеет, но иногда его рассматривают как обобщенный начальный уровень ряда.
Параметр b в трендовом уравнении называется коэффициентом регрессии. Он определяет направление развития явления: при b>0 –уровни ряда динамики равномерно возрастают, при b<0 – равномерно снижаются. Коэффициент регрессии показывает, насколько в среднем изменится уровень ряда при изменении времени на единицу. Это означает, что параметр b можно рассматривать как средний абсолютный прирост с учетом тенденции к равномерному росту (росту в арифметической прогрессии).
Уравнение параболы используется тогда, когда абсолютные приросты не стабильны, а изменяются (возрастая или снижаясь) примерно на одну и ту же величину. Оно имеет следующий вид:
Параметры уравнения полученные методом наименьших квадратов имеют вид:
Показательная функция: 
Применяется для описания динамических рядов со стабильными цепными темпами роста. Такие динамические ряды отражают развитие в геометрической прогрессии.
Для исследования близости трендового уравнения фактическому ряду применяется критерий Фишера.
Исследования динамики социально-экономических явлений, выявление и характеристика основной тенденции развития дают основание для прогнозирования, определения будущих размеров уровня экономического явления.
Применение прогнозирования предполагает, что закономерность развития, действующая в прошлом (внутри ряда динамики), сохранится и в прогнозируемом будущем, т. е. прогноз основан на экстраполяции. Экстраполяция, проводимая в будущее, называется перспективой.
Следует иметь в виду, что экстраполяция в рядах динамики носит приближенный характер. Точность прогноза зависит от сроков прогнозирования: чем они короче, тем надежнее результат экстраполяции, так как за короткий период времени не успевают значительно измениться условия развития явления и характер его динамики. Обычно рекомендуется, чтобы срок прогноза не превышал 1/3 длительности базы расчета тренда.
Взависимости от того, какие принципы и какие исходные данные положены в основу прогноза, можно выделить следующие элементарные методы экстраполяции: среднего абсолютного прироста, среднего темпа роста и экстраполяции на основе выравнивания рядов по какой-либо аналитической формуле.
Прогнозирование по среднему абсолютному приростуможет быть выполнено в том случае, если есть уверенность считать общую тенденцию линейной, т. е. метод основан на предположении равномерном изменении уровня (под равномерностью понимается стабильность абсолютных приростов).
Для нахождения интересующего нас аналитического выражения тенденции на любую дату t необходимо определить средний абсолютный прирост и последовательно прибавить его к последнему уровню ряда столько раз, на сколько периодов экстраполируется ряд, т. е. экстраполяцию можно сделать по следующей формуле:
где 
- фактическое значение в последней n-ой точке ряда;
_ прогнозная оценка значения уровня в точке п + 1;
- значение среднего прироста, рассчитанное для временного ряда у1, у2, …, уп.
Прогнозирование по среднему темпу роста можно осуществлять в случае, когда есть основание считать, что общая тенденция ряда характеризуется показательной кривой. Для нахождения тенденции в этом случае необходимо определить средний коэффициент роста, возведенный в степень, соответствующую периоду экстраполяции, т. е. по формуле
где Уn+1 — прогнозная оценка значения уровня в точке n + 1;
Уn - фактическое значение в последней n-ой точке ряда;
Т
— средний темп роста, рассчитанный для ряда у1, у2, ..., уn (не в %-м выражении).
Прогнозирование на основе аналитического выравниванияявляется наиболее распространенным методом прогнозирования. Для получения прогноза используется аналитическое выражение тренда. Чтобы получить прогноз, достаточно в подобранной модели продолжить значение условного показателя времени.