Определения.

 

В математике принято одной и той же буквой обозначать различные объекты, т. е. под буквой фактически понимается переменная, принимающая значения из некоторого множества. Такие переменные называются свободными переменными. Множества, на которых определены свободные переменные, называются допустимыми множествами для свободных переменных. А элементы допустимых множеств называются значениями свободных переменных.

В логике часто встречаются выражения, грамматически имеющие форму высказываний, но содержащие предметные переменные некоторых множеств. Например, предложение «– простое число» содержит свободную переменную , принимающую значения из множества натуральных чисел. Это множество является допустимым множеством переменной , а элементы множества являются допустимыми значениями переменной . Если заменить любым натуральным числом, то данное предложение превращается в высказывание. Например, «16 – простое число» - это ложное высказывание, а «19 – простое число» - истинное высказывание. В дальнейшем всякое предложение, содержащее свободную переменную, будем называть предикатом.

Определение 1: - местным предикатом, определенным на некотором множестве , называется выражение, содержащее предметные переменные данного множества, и обращающиеся в высказывание при замене переменных любыми элементами данного множества.

Замечание: Если , то предикат называется одноместным, при имеем двуместный предикат и т. д.

Каждое алгебраическое уравнение и неравенство представляет собой предикат. Например, «» - двуместный предикат, определённый на множестве всех пар действительных чисел. Подставив вместо переменных любую пару действительных чисел, получим высказывание (- ложное высказывание, - истинное). Одноместный предикат выражает условие или свойство объекта (например, ), а двуместный предикат – отношение между объектами (например, ). Высказывание принято считать нульместным предикатом.

Для предикатов введём следующие обозначения: - одноместный предикат, - двуместный, - трёхместный. В общем случае будем рассматривать - - местный предикат.

Любое уравнение (или система уравнений) с неизвестными, допустимая область значений которых есть множество действительных чисел, будет – местным предикатом, определенным на множестве действительных чисел. При замене переменных решением уравнения (или системы), получим истинное высказывание; при замене переменных числами, не являющимися решениями, получим ложное высказывание.

Определение 2: Пусть - - местный предикат, определённый на некотором множестве . Если значения такие, что , то говорят, что набор значений удовлетворяют предикату .