Ядро и образ, ранг и дефект линейного отображения.
Определение 1. Пусть V и V1 – векторные пространства над полем Р, 
- линейное отображение V в V1. Множество 
называется ядром линейного отображения j, т.е. ядром линейного отображения j называется множество всех векторов из V, отображающихся при j в нулевой вектор 
.
Определение 2. Пусть V и V1 – векторные пространства над полем Р, - линейное отображение V в V1. Множество 
называется образом линейного отображения j.
Теорема 1. Пусть V и V1 – векторные пространства над полем Р, - линейное отображение V в V1. Тогда справедливы следующие утверждения:
1) Множество 
является подпространством векторного пространства V;
2) Множество 
является подпространством векторного пространства V1.
Доказательство. 1) Применим к множеству критерий подпространства. Отметим, что так как 
и 
, то 
, и значит, 
∅. Кроме того, из определения 2 следует, что 
.
а) Покажем, что 
. Действительно, так как 
, то 
.
б) Покажем, что 
. Действительно, поскольку 
, то 
.
Из а) и б) по критерию подпространства получаем, что - подпространство векторного пространства V.
2) Применим к множеству критерий подпространства. Так как и , то 
, и поэтому, 
∅. Так как 
, то из определения 3 следует, что 
.
а) Пусть 
. Покажем, что 
. Так как , то по определению 3 существуют такие векторы 
, что 
, 
. Тогда 
.
б) Покажем, что 
. Действительно, 
.
Из а) и б) по критерию подпространства получаем, что - подпространство векторного пространства V1. Теорема доказана.
Определение 3. Пусть V и V1 – конечномерные векторные пространства над полем Р, - линейное отображение V в V1. Дефектом линейного отображения j называется размерность векторного пространства Kerj, и обозначается d, т.е. d=dimpKerj. Рангом линейного отображения 
называется размерность векторного пространства , и обозначается r, т.е. r=dimР.
Теорема 2. Пусть V и V1 – конечномерные векторные пространства над полем Р, - линейное отображение V в V1, r и d – ранг и дефект линейного отображения j соответственно. Тогда n= r+d.
25. Линейный оператор. Матрица линейного оператора. Связь между координатными столбцами 
и 
Определение 1. Линейное отображение 
называется линейным оператором или эндоморфизмом векторного пространства V.
Теорема 1. Пусть V - n-мерное векторное пространство над полем P, - линейный оператор V. Тогда следующие утверждения равносильны:
1) – взаимно-однозначное отображение;
2) Оператор всякий базис пространства V переводит в базис этого пространства;
3) Оператор всякую линейно независимую систему векторов из V переводит в линейно независимую систему векторов;
4) Ранг линейного оператора равен n;
5) 
;
Пусть Vn – n-мерное векторное пространство над полем Р, 
(1) – базис Vn, 
. Тогда 
можно разложить по базису (1), т.е. =
, где 
. Введём в рассмотрение две матрицы:
(
) – матрица размера 
, 
- матрица размера 
.
Матрица обозначается 
и называется координатным вектором-столбцом вектора 
в базисе (1), т.е. =
. Тогда (
1,…,n)·=(1,…,n)·
=
. Таким образом, 
(2).
Пусть Vn – n-мерное векторное пространство над полем Р, (1) – базис Vn, j – линейный оператор Vn. Тогда по теореме 3 линейный оператор однозначно определяется заданием векторов 
. Так как j: Vn 
Vn, то 
. Поскольку (1) – базис Vn, то вектор 
можно разложить по базису (1), i=
:
(3)
, т.е. 
= 
, i=.
Определение 2. Пусть Vn – n-мерное векторное пространство над полем Р, (1) – базис Vn, j – линейный оператор Vn. Матрицей линейного оператора в базисе (1) называется матрица n-го порядка над полем Р, i-ым столбцом которой является координатный вектор-столбец вектора в базисе (1), i=, и обозначается Аφ, т.е.
Аφ =
.
Из определения 2 следует, что система (3) может быть записана в матричной форме: 
=
(3′).
Действительно,
=
=
= 
.
Заметим, что между множеством Mn(P) всех матриц n-го порядка над полем Р и множеством всех линейных операторов n-мерного векторного пространства Vn над полем Р существует взаимно однозначное соответствие.
Теорема 2. Пусть 
- n-мерное векторное пространство над полем Р, (1) – базис Vn, – линейный оператор Vn, 
, А – матрица линейного оператора в базисе (1). Тогда 
= 
(4).
Доказательство. Так как Vn и (1) – базис Vn, то 
С другой стороны, так как 
, то по (2) 
. Следовательно,
= 
. Поскольку коэффициенты в базисе (1) определяются однозначно, то последнее равенство означает, что 
= 
. Теорема доказана.