Пусть Δ = = .
Определение 1. Если в определителе Δ сгруппировать все слагаемые, содержащие элемент aij и, сгруппировав, вынести элемент aij за скобки, то выражение, полученное в скобках, обозначается Aij и называется алгебраическим дополнением к элементу aij в определителе Δ, i = , j = .
Так как все элементы i-той строки определителя Δ входят в одно и только одно из слагаемых, то Δ=ai1Ai1+ ai2Ai2+ … + ainAin (1). Равенство (1) называется разложением определителя Δ по i-той строке.
Аналогично: Δ=a1jA1j+ a2jA2j+ … + anjAnj (2) - разложение определителя Δ по j-тому столбцу, j =.
Строки и столбцы определителя Δ называются его рядами. Таким образом, (1) и (2) – разложения Δ по ряду.
Определение 2. Если в определителе Δ вычеркнуть i-тую строку и j-тый столбец, то на их пересечении получится элемент aij, а остальные элементы образуют определитель (n-1)-го порядка, который обозначается Mij и называется минором к элементу aij в определителе Δ, i = , j = .
Пример 1. Пусть Δ = . Тогда M23 =и т.д.
Теорема 1. Пусть Δ - определитель n-го порядка над полем P, Aij и Mij – алгебраическое дополнение и минор к элементу aij в Δ соответственно. Тогда
Aij=(-1)i+ jMij, i = , j = .
Доказательство. Пусть Δ1 - сумма всех тех слагаемых из Δ, которые содержат элемент aij, т.е. Δ1== (3). Вторые индексы в (3) образуют перестановку I1, полученную из перестановки I удалением символа j с i-того места. Тогда, по теореме о четности перестановки, получим = =aij(-1)i+jMij, т.е. Δ1 = aij(-1)i+jMij (4). С другой стороны Δ1 =aijAij (5). Из (4) и (5) следует, что aij(-1)i+jMij = aijAij. Тогда Aij = (-1)i+jMij. Теорема доказана.
6. Свойства определителей.
Свойство 1. При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется.
Доказательство. Пусть - матрица n-го порядка над полем Р. Транспонируя А, получим . Всевозможные произведения вида будут одинаковыми как для матрицы А, так и для матрицы tА. При этом знак произведения сохраняется. Таким образом, ∣А∣=∣ tА∣.
Из свойства 1 следует, что все утверждения, справедливые для какой-либо строки определителя, верны и для его столбца
Свойство 2. Если все элементы некоторой строки определителя равны нулю, то определитель равен нулю.
Доказательство. В каждое произведение определителя обязательно входит один элемент строки, состоящей из нулей. Поэтому все слагаемые определителя раны нулю, а, значит, и определитель равен нулю.
Свойство 3. От перестановки двух строк местами определитель меняет знак.
Доказательство. Пусть Δ = .
В определителе Δ переставим i-ю и j-ю (i<j) строки местами. Получим:
Δ '= . Пусть - одно из произведений определителя Δ. Тогда соответствующим для определителя Δ' будет произведение . Эти произведения различаются только индексами сомножителей. Перестановка (k1 k2 … kj … ki … kn) получена из перестановки (k1 k2 … ki … kj … kn). Такое преобразование меняет четность перестановки, а, следовательно, знак рассматриваемого произведения. Таким образом, при перестановке двух строк местами все произведения, составляющие определитель Δ, поменяют знак. Следовательно, поменяет знак и Δ.
Свойство 4. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.
Доказательство. Пусть определитель Δ содержит две одинаковые строки: i-ю и j-ю. Поменяем их местами. По свойству 3, определитель Δ поменяет знак: Δ'=-Δ. Но, так как строки одинаковые, то Δ'=Δ. Значит, Δ=-Δ и Δ=0. Свойство доказано.
Свойство 5. Общий множитель всех элементов некоторой строки определителя можно вынести за знак определителя.
Доказательство. Δ = = . Пусть элементы i-ой строки имеют общий множитель α. Так как в каждое слагаемое вида входит элемент этой строки, то все такие произведения имеют общий множитель α, который можно вынести за знак всей суммы в Δ.
Свойство 5'. Если все элементы некоторой строки определителя Δ умножить на одно и тоже число, то определитель умножится на это число.
Свойство 6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.
Доказательство. Пусть Δ = , причем ai1=aj1, ai2=aj2, …, ain=ajn. Вынесем элемент α из j-ой строки за знак определителя Δ. Получим:
Δ = . Тогда, по свойству 4, Δ =α⋅0=0.
Свойство 7. Если все элементы i-ой строки определителя представлены в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки, кроме i-ой, те же, что и у данного определителя, i-я строка одного определителя состоит из первых слагаемых i-ой строки данного определителя, а i-я строка второго – из вторых слагаемых i-ой строки данного определителя.
Свойство 8. Определитель не изменится, если к элементам одной строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.
Свойство 9. Сумма произведений элементов какой-либо строки определителя n-го порядка на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки равна нулю, то есть ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn=0 где i≠j.