Матричный метод решения системы линейных уравнений.
Рассмотрим систему линейных уравнений
(1)
Обозначим через А – матрицу коэффициентов при неизвестных; X – матрицу – столбец неизвестных х, у, z; В – матрицу – столбец свободных членов 
1, 2, 3:
А=
; Х=
; В=
С учетом этих обозначений данная система уравнений (1) принимает следующую матричную форму:
(2)
Если матрица А – невырожденная (ее определитель 
отличен от нуля), то она имеет обратную матрицу 
. Умножив обе части уравнения (2) на , получим:
.
но 
(Е – единичная матрица), а 
, поэтому
(3)
Равенство (3) называется матричной записью решения системы линейных уравнений (1). Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу .
Пусть имеем невырожденную матрицу
, ее определитель 
Тогда
= 
(4)
где Аij (
= 1, 2, 3; j = 1, 2. 3) – алгебраическое дополнение элемента 
ij в определителе матрицы А, которое является произведением 
на минор (определитель второго порядка), полученный вычеркиванием -ой строки и j-го столбца в определителе матрицы А.
Задача 3. Данную систему уравнений записать в матричной форме и решить ее с помощью обратной матрицы.
Обозначим матрицы
; Х = ; В= 
.
Тогда матричная форма записи данной системы будет
,
или
=
Найдем обратную матрицу для матрицы А. Для этого:
1) Вычислим определитель матрицы А.
Получили 
. Следовательно матрица А имеет обратную матрицу .
2) Найдем алгебраические дополнения для каждого элемента определителя матрицы А.
3)
4) Обратная матрица будет иметь вид:
5) Проверим правильность полученной обратной матрицы (произведение обратной матрицы на матрицу А должно быть равно единичной матрице Е).
Получили единичную матрицу. Значит обратная матрица найдена верно.
Находим решение данной системы уравнений в матричной форме
Получили 
, следовательно х = 3; у = 0; z = –2.
Проверим правильность полученного решения, подставив его в каждое уравнение заданной системы:
Все три равенства верные, поэтому делаем вывод о правильности полученного решения.
Ответ: х = 3, у = 0, z= –2.