Метод Гауса

Метод Гауса (або метод послідовного виключення невідомих) застосовний для розв’язання систем лінійних рівнянь, в яких число невідомих може бути або рівно числу рівнянь, або відмінно від нього.

Розглянемо систему лінійних рівнянь (8). Система лінійних рівнянь називається сумісною, якщо вона має розв’язок, і несумісною, якщо вона не має розв’язків. Сумісна система називається визначеною, якщо вона має єдине розв’язок і невизначеною, якщо вона має незліченну безліч розв’язків. Дві сумісні системи називаються рівносильними, якщо вони мають одну і ту ж множину розв’язків.

До елементарних перетворень системи віднесемо наступні:

1. зміна місцями два будь-яких рівнянь;

2. множення обох частин будь-якого з рівнянь на довільне число, відмінне від нуля;

3. збільшення до обох частин одного з рівнянь системи відповідних частин іншого рівняння, помножених на будь-яке дійсне число.

Елементарні перетворення переводять систему рівнянь в рівносильну їй.

Для простоти розглянемо метод Гауса для системи трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими у разі, коли існує єдиний розв’язок:

Кроки методу Гауса:

1. Виключаємо невідоме х₁ зі всіх рівнянь системи (8), окрім першого. Хай коефіцієнт . Назвемо його провідним елементом. Розділимо перше рівняння системи (8) на а₁₁. Отримаємо рівняння:

(9)

де

Виключимо х₁ з другого і третього рівнянь системи (8). Для цього віднімемо з них рівняння (9), помножене на коефіцієнт при х₁ (відповідно а₂₁ і а₃₁).

Система прийме вигляд:

(10)

Верхній індекс (1) указує, що мова йде про коефіцієнтах першої перетвореної системи.

2. Виключимо невідоме х₂ з третього рівняння системи (3).

Нехай коефіцієнт . Виберемо його за провідний елемент і розділимо на нього друге рівняння системи (3), отримаємо рівняння:

(11)

де

З третього рівняння системи (10) віднімемо рівняння (11), помножене на Отримаємо рівняння:

Припускаючи, що знаходимо:

В результаті перетворень система прийняла вигляд:

(12)

Система вигляду (12) називається трикутною. Процес приведення системи (8) до трикутного вигляду (512 (кроки 1 і 2) називають прямим ходом методу Гауса.