Нтерполяційний поліном Ньютона.
Розглянемо форму запису інтерполяційного полінома Рn(х), яка допускає уточнення результатів інтерполяції послідовним додаванням нових вузлів. При цьому будем використовувати таке поняття як розділені різниці функцій.
Нехай маємо функцію f(x) і не обов"язково рівновіддалені вузли інтерполяції хі (і=0, 1, 2, … , n).
Розділеними різницями 1-го порядку називають величини, які мають зміст, наприклад, середніх швидкостей зміни функції:
(26)
Розділені різниці другого порядку визначаються співвідношеннями
(27)
Аналогічно, розділена різниця k−го порядку визначається через розділені різниці (k−1) порядку за рекурентною формулою:
(28)
Тепер перейдемо безпосередньо до самого інтерполяційного полінома Ньютона.
Маємо, наприклад, один вузол інтерполяції х0.
Виходячи із визначення розділеної різниці 1−го порядку f(x; x0) маємо:
Для розділених різниць другого порядку (два вузли − х0, х1)
Підставляючи це значення у формулу для f(x)
Повторюючи цей процес, отримаємо (для n+1 вузлів інтерполяції):
(29)
Оскільки Рn(x) − інтерполяційний поліном для функції f(x), то його значення у вузлах інтерполяції співпадають із значеннями функції f(x) (а, значить, і співпадають і розділені різниці) Рn(xі) = f(xі) = уі, (і=
), оскільки залишковий член в цих вузлах
(х приймає значення х0, х1, … , хn, тому один із співмножників завжди рівний 0, через те залишковий член у вузлах інтерполяції дорівнює нулю).
Тому замість (29) можна записати
(30)
Це і є інтерполяційний поліном Ньютона з розділеними різницями.
Для того, щоб пересвідчитись, що інтерполяційний поліном приймає значення уі в вузлах інтерполяції хі, візьмемо два вузли х0 та х1
n = 2 f(x) = y0 + (x − x0)f( x0 ; x1) + (x − x0)(x − x1)f(x; x0; x1)
При x = x1
f(x1) = y0 + (x1 − x0)(f(x1) − f(x0))/(x1 − x0) = у0 + f(x1) – f(x0); f(x1) = f(x1)
Якщо маємо чотири вузли інтерполяції (n=3), то поліном Ньютона має вигляд:
Pn(x) = y0 + (x − x0)f(x0; x1) + (x − x0)(x−x1)f(x0; x1; x2) +
+ (x − x0)(x − x1)(x − x2)f(x0; x1; x2; x3)
Якщо ж маємо вже шість вузлів, тобто n=5, то йде просте нарощування формули:
Pn(x) = y0 + (x − x0)f(x0; x1) + (x − x0)(x − x1)f(x0; x1; x2) +
+ (x − x0)(x − x1)(x − x2)f(x0; x1; x2; x3) +
+ (x − x0)(x − x1)(x − x2)(х − х3)f(x0; x1; x2; x3; x4) +
+ (x − x0)(x − x1)(x − x2)(х − х3)(х − х4)f(x0; x1; x2; x3; x4; x5).