Метод найменших квадратів.
Приклад 1. Запишіть рівняння регресії для дослідних даних попиту та пропозиції методом найменших квадратів. Визначте рівноважну ціну та кількість.
Розв'язання. Для визначення параметрів розв’язуємо систему двох рівнянь з двома невідомими a та b.
Для функції пропозиції замість х беремо дані у рядку ціни, замість у — дані у рядку пропозиції.
Для функції попиту: замість х — дані у рядку ціни, замість у —дані у рядку попиту.
Проміжні дані для функції пропозиції записуємо в таблицю.
Проміжні дані для функції попиту також записуємо в таблицю.
Розв’язуємо дві системи рівнянь.
Одержуємо такі рівняння функцій пропозиції та попиту: у = 1,55л:+ 4,03; у = -2,77х + 9,56.
Оскільки рівноважна ціна та кількість визначається як координати точки перетину прямих попиту та пропозиції, то розв’язуємо ще одну систему лінійних рівнянь:
Одержимо: х = 1,28, у = 6,014.
Відповідь: Рівноважна ціна становить 1,28 гр. од., рівноважна кількість — 6,014 од.
Приклад 2. Знайти інтерполяційний поліном Ньютона:
| x | -3 | -1 | ||
| y |
При n = 3 інтерполяційний поліном Ньютона буде мати вигляд:
Pn(x) = y0 + (x − x0)f(x0; x1) + (x − x0)(x − x1)f(x0; x1; x2) + + (x − x0)(x − x1)(x − x2)f(x0; x1; x2; x3)
| j | xj | yj | k=1 | k=2 | k=3 |
| х0 = −3 | y0 = 8 | 
|
|
| |
| x1 = −1 | y1 = 6 | ||||
| x2 = 1 | y2 = 4 | ||||
| x3 = 2 | y3 = 18 |
Р3(х) = 8 + (х + 3)(−1) + (х + 3)(х + 1)*0 + (х + 3)(х + 1)(х − 1)*1=
= 8 − х − 3 + (х + 3)(х2 − 1) = 5 − х + х3 + 3х2 − х − 3 =
= х3 + 3х2 − 2х + 2
Перш ніж приступати до заповнення таблиці, розпишемо розділені різниці
Розділені різниці 1−го порядку
Розділені різниці 2−го порядку
Розділені різниці 3−го порядку
При написанні програми будемо користуватися наступним алгоритмом: позначимо через k – порядок розділених різниць (
– межі зміни k, де n – порядок (найвищий) інтерполюючого полінома), а через і – число розділених різниць (
– межі зміни і) для даного порядку k.
k=1 
збереглося 
k=2 
,
k=3 
– це порядок, k = 1 до n.
Для і = 0 до n ввести значення хі, уі. Для k = 1 до n, для і = n до k з кроком – 1
уі = (уі – уі–1)/( хі – хі–1)
Тоді відповідно збережуться у0, у1΄, у2΄΄, у3΄΄΄.