Метод Ейлера

Рис. 9. Ілюстрація методу Ейлера.

В чисельних методах методом Ейлера називають спосіб розв'язувати звичайні диференціальні рівняння з заданим початковим значенням. Це найбільш базовий вид чисельних методів інтегрування звичайних диференціальних рівнянь.

Розгляньмо задачу малювання графіка невідомої кривої, яка починається в даній точці, і задовольняє дане диференціальне рівняння. Тут дифрівняння може розглядатись як формула для тангенса кута нахилу дотичної до кривої, і може бути обчислена в кожній точці цієї кривої, як тільки відомі її координати.

Ідея методу полягає в тому, що хоча крива спочатку невідома, її початкова точка, яку ми позначимо A₀, відома (як на ілюстрації вгорі справа). Тоді, в цій точці можна обчислити нахил дотичної. Тепер робимо маленький крок вздовж дотичної, до точки A₁. Якщо ми припустимо що A₁ все ще на кривій (приблизно), тоді до неї можна застосувати ті ж міркування. Таким чином ми отримаємо послідовність точок, що утворюють ламану яка приблизно повторює криву.

Відхилення між отриманою ламаною, можна зробити не надто великим, якщо робити короткі кроки вздовж дотичних, і будувати криву на скінченному, короткому інтервалі. Хоча для деяких рівнянь можуть виникати додаткові ускладнення.

Рис. 10. Ілюстрація чисельного інтегрування Рис.11. Ілюстрація для кроку h = 0.25

рівняння y' = y,y(0) = 1. Видно, що метод середньої точки

Синій - метод Ейлера, зелений - метод збігається швидше ніж

середньої точки, червоний - точний метод Ейлера.

розв'язок, y = e^t. Розмір кроку - h = 1.0.

 

Ми хочемо наблизити розв'язок наступної задачі початкових значень:

використовуючи перші два доданки ряду Тейлора для y, які представляють лінійне наближення біля точки (t₀,y(t₀)). Один крок методу Ейлера з t_n до t_{n + 1} = t_n + h проводиться так:

Метод Ейлера є явним, тобто розв'язок y_{n + 1} є явною функцією y_i для .

Хоча метод Ейлера працює для ЗДР першого порядку, будь-яке ЗДР порядку N може бути представленим як ЗДР першого порядку додаванням N − 1 додаткових змінних, , і створенням N рівнянь першого порядку з цими змінними. Метод Ейлера можна застосовувати до вектора для інтегрування системи рівнянь вищих порядків.

Якщо припустити, що f(t) і відповідно y(t) відомі точно в момент t₀, тоді метод Ейлера дає приблизний розв'язок в момент t₀ + h як:

(друга рівність зберігається тому що y задовольняє дифрівняння y' = f(t,y)). Розклад Тейлора для h біля t₀ дає:

Похибка методу Ейлера задається різницею між цими двома рівняннями:

Для маленьких h, домінуючий доданок похибки пропорційний h². Щоб розв'язати задачу на заданому проміжку t, необхідна кількість кроків, яка пропорційна до 1 / h тому можна очікувати, що загальна похибка на кінці інтервалу буде пропорційна h (похибка за один крок, помножена на кількість кроків). З цієї причини, метод Ейлера називають методом першого порядку, і він є менш точним (для малих h) ніж методи вищих порядків, таких як метод Рунге-Кутта, чи метод Адамса.

Метод Ейлера може бути чисельно нестійким, особливо для жорстких рівнянь. Це обмеження, поряд з тим фактом, що він повільно збігається при зменшенні h означає, що метод використовується нечасто, і хіба що як простий приклад чисельного інтегрування. Нестійкості можна уникнути, використовуючи алгоритм Ейлера - Крамера.