Метод Рунге-Кутта другого порядку.

Для зменшення похибки методу інтегрування звичайних диференційних рівнянь, що використовує розкладання шуканого рішення в ряд Тейлора ,

необхідно враховувати більшу кількість членів ряду. Однак при цьому виникає необхідність апроксимації похідних від правих частин рівнянь. Основна ідея методів Рунге-Кутта полягає в тому, що похідні апроксимуються через значення функції у вузлах на інтервалі , що обираються з умови найбільшої близькості алгоритму до ряду Тейлора. В залежності від старшого степеня, з якого враховуються члени ряду, побудовані обчислювальні схеми Рунге-Кутта різних порядків точності.

Для другого порядку отримано однопараметричне сімейство схем виду

(37)

де <– вільний параметр,

Локальна похибка схем (37) має третій порядок, глобальна - другий. Рішення рівняння, отримане за цією схемою, рівномірно сходиться до точного розв'язання з похибкою . Для параметра найбільш часто використовують значення та .

 

Рис. 12. Метод Рунге-Кутта другого порядку (= 0,5)

 

У першому випадку формула (37) приймає вигляд

геометрична інтерпретація якої представлена ​​на рис. 12. Спочатку обчислюється наближене рішення рівняння в точці за формулою Ейлера Потім визначається нахил інтегральної кривої у знайденій точці а після знаходження середнього нахилу на кроці знаходиться уточнене значення Схеми подібного типу називають «прогноз-корекція», що має на увазі грубе обчислення рішення за формулою низького порядку, а потім уточнення з урахуванням отриманої інформації про поведінку інтегральної кривої.

Рис. 13. Метод Рунге-Кутта другого порядку (= 1)

У другому випадку при формула (37) приймає вигляд

Геометричне значення якої відображено на рис. 13. При прогнозуванні визначається методом Ейлера значення в точці

а після обрахування наклону дотичної до інтегральної кривої у середній точці рішення коректується з цього нахилу.