Для зменшення похибки методу інтегрування звичайних диференційних рівнянь, що використовує розкладання шуканого рішення в ряд Тейлора ,
необхідно враховувати більшу кількість членів ряду. Однак при цьому виникає необхідність апроксимації похідних від правих частин рівнянь. Основна ідея методів Рунге-Кутта полягає в тому, що похідні апроксимуються через значення функції у вузлах на інтервалі , що обираються з умови найбільшої близькості алгоритму до ряду Тейлора. В залежності від старшого степеня, з якого враховуються члени ряду, побудовані обчислювальні схеми Рунге-Кутта різних порядків точності.
Для другого порядку отримано однопараметричне сімейство схем виду
(37)
де <– вільний параметр,
Локальна похибка схем (37) має третій порядок, глобальна - другий. Рішення рівняння, отримане за цією схемою, рівномірно сходиться до точного розв'язання з похибкою . Для параметра найбільш часто використовують значення та .
Рис. 12. Метод Рунге-Кутта другого порядку (= 0,5)
У першому випадку формула (37) приймає вигляд
геометрична інтерпретація якої представлена на рис. 12. Спочатку обчислюється наближене рішення рівняння в точці за формулою Ейлера Потім визначається нахил інтегральної кривої у знайденій точці а після знаходження середнього нахилу на кроці знаходиться уточнене значення Схеми подібного типу називають «прогноз-корекція», що має на увазі грубе обчислення рішення за формулою низького порядку, а потім уточнення з урахуванням отриманої інформації про поведінку інтегральної кривої.
Рис. 13. Метод Рунге-Кутта другого порядку (= 1)
У другому випадку при формула (37) приймає вигляд
Геометричне значення якої відображено на рис. 13. При прогнозуванні визначається методом Ейлера значення в точці
а після обрахування наклону дотичної до інтегральної кривої у середній точці рішення коректується з цього нахилу.