Метод дотичних (метод Ньютона)

Геометричний зміст методу дотичних полягає в тому, що дуга кри­вої y = f (x) замінюється дотичною до цієї кривої, проведеною до одного з кінців відрізка [a, b]. Наближене значення кореня знахо­дять як абсцису точки перетину цієї дотичної з віссю Ox.

Проведемо дотичну до гра­фіка функції y = f (x) в точці B(b,f (b)) (рис. 4) і знайдемо аб­сцису точки перетину дотичної з віссю Ox. Позначимо її через с₁, і назвемо першим наближенням ко­реня. Відомо, що рівняння дотичної в точці B(b,f (b)) має вигляд

y - f(b) = f'(b)(x-b). Для знаходження точки перетину цієї прямої з віссю Ox потрібно підставити в рівняння дотичної x =с₁, y=0.

Отримаємо - f(b) = f'(b)(c₁ —b), звідки c₁ = b- .

Якщо друге наближення кореня с₂ не є шуканим наближенням, то його уточнюють, застосовуючи метод дотичних до відрізка [ a,с₂] і знаходячи таким чином точку c₃ - третє наближення кореня. Процес продовжують до тих пір, поки не буде знайдено наближене значення кореня з потрібною точністю.

 

 

 

Рис 4. Геометрична ілюстрація методу дотичних

 

Загальна формула методу дотичних має вигляд

f''(х)>0, то першу дотичну в методі Ньютона слід проводити в правому кінці відрізка [а, b]; якщо знаки похідних f'(х) і f''(х) різні, тобто для всіх х(а,b) виконує­ться f'(х)f''(х)<0, то перша дотична проводиться в лівому кінці.

Зауважимо, що коли початкову точку вибрати невдало, то точка перетину дотичної з віссю Ox може не належати відрізку [ а, Ь ]. Пря­ма AK на рис. 4 зображає такий випадок.