Тема 9. Определенный интеграл

[2] гл. XIV, XV; [3] № 1598, 1607, 1612, 1619, 1622, 1629, 1636, 1670, 1686.

Разберите решение задачи 11 данного пособия.

Задача 11. Вычислить площадь фигуры, ограниченной ли­ниями у=х2+4х, у=х+4 (рис. 8).

Решение. Площадь S фигуры, ограниченной сверху и снизу непрерывными линиями у=f(х) и у=(х), пересекаю­щимися в точках с абсциссами х=а и х=b, определяется по формуле

S= (1)

 

Для нахождения точек пересечения данных линий решаем систему уравнений

х+4х=х+4, х+3х-4=0, откуда х=-4, х=1.

Применяя формулу (1), получим:

S=(кв.ед.).


 

 

Вопросы для самопроверки

  1. Назовите задачи, приводящие к понятию определенно­го интеграла.
  2. Напишите интегральную сумму для функции у =f (х) на отрезке [а;b ].
  3. Что называется определенным интегралом от функции у =f(х) на отрезке [а;b ].
  4. Каков геометрический смысл определенного инте­грала?
  5. Перечислите основные свойства определенного интеграла.
  6. Чему равна производная от определенного интеграла с переменным верхним пределом интегрирования?
  7. Напишите формулу Ньютона—Лейбница.
  8. Напишите формулу интегрирования по частям в опре­деленном интеграле.
  9. Как вычислить объем тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси Ох? оси Оу?
  10. Дайте определение несобственного интеграла с беско­нечными пределами интегрирования.
  11. Сформулируйте понятие несобственного интеграла от разрывной функции.