Линейная алгебра

Министерство сельского хозяйства Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

“Тверская государственная сельскохозяйственная академия”

 

Линейная алгебра

Математический анализ

Теория вероятностей и математическая статистика

 

 

Методические указания и контрольные задания для

студентов заочной формы обучения.

Направление 0801000.62 - Экономика

 

 

Тверь: ТГСХА, 2013

Рецензент

заведующий кафедрой менеджмента и маркетинга в АПК ТГСХА, д.э.н., профессор Фаринюк Ю.Т.  

Библиографический список

2. Кудрявцев В. А., Демидович В. П. Краткий курс высшей математики. 6-е изд. М.: Наука, 1985. 3. Минорский В. П. Сборник задач по высшей математике. М.: Наука, 1977. 4. Пискунов И. С. Дифференциальное и интегральное исчисления: т. 1, 2. М.: Наука, 1978.

УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 1

Тема 1. Аналитическая геометрия на плоскости

[1] гл. I, П; [3] № 4, 10, 23, 28;

[1] гл. III § 11, 12, гл. IV; [3] № 59, 67, 71, 82 (2), 87, 103;

[1] гл. V § 24—26, 30—36; [3] № 140, 155, 166, 169, 190, 211, 224.

Разберите решения задач 1, 2, 3 из данных методических указаний.

 

 

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 1.Даны вершины треугольника АВС: А(—4; 8), В (5; —4), С( 10; 6). Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и АСи их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол А в радианах с точностью до 0,01; 4) уравнение высоты СD и ее длину; 5) уравнение окружности, для которой высота СD есть диаметр; 6) систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.

Решение: 1. Расстояние d между точками М ₁ (х₁ ; у₁ ) и М₂ (х₂ ; у₂ )определяется по формуле

 

d= (1)

Подставив в эту формулу координаты точек А и В, имеем:

АВ=.

2. Уравнение прямой, проходящей через точки М ₁ (х₁ ; у₁ ) и М₂ (х₂ ; у₂ ) имеет вид:

(2)

 

Подставив в (2) координаты точек А и В, получим уравнение прямой А В :

, , ,

Зу—24 = —4х— 16, 4х+3у—8 = 0 (АВ).

Для нахождения углового коэффициента R_АВ прямой АВ разрешим полученное уравнение относительно у:

Отсюда RАВ=-. Подставив в формулу (2) координаты точек А и С, найдем уравнение прямой АС.

, , ,

х+7у-52=0 (АС)

Отсюда RАС=-.

3. Угол α между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых равны R₁ и R₂ определяется по формуле:

tgα=. (3)

 

Угол А, образованный прямыми АВ и АС, найдем по формуле (3), подставив в нее R₁₌ R_{АВ= -,} R₂₌ R_АС= - .

 

tg А=,

А=arctg 1=450,79 рад.

 

4. Так как высота СD перпендикулярна стороне АВ, то угловые коэффициенты этих прямых обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.

 

R=-=-=

Уравнение прямой, проходящей через данную точку М ₁ (х₁ ; у₁ ) в заданном угловым коэффициентом к направле­нии, имеет вид:

у-у=R(х-х). (4)

Подставив в (4) координаты точки С и R=, получим уравнение высоты СD:

у-6=(х-10), 4у-24=3х-30, 3х-4у-6=0 (СD). (5)

Для нахождения длины СD определим координаты точка D, решив систему уравнений (АВ) и (СD):

,

откуда х=2, у=0, то есть D (2; 0).

Подставив в формулу (1) координаты точек С и D, нахо­дим:

CD=.

5. Уравнение окружности радиуса R с центром в точке Е (a; b) имеет вид:

(х-a)+(у-b)=R. (6)

Так как СD является диаметром искомой окружности, то ее центр E есть середина отрезка СD. Воспользовавшись фор­мулами деления отрезка пополам, получим:

х=, у=

Следовательно, Е (6; 3) и R=. Используя формулу (6),

получаем уравнение искомой окружности:

(х-6)+(у-3)=25.

 

6. Множество точек треугольника АBС есть пересечение трёх полуплоскостей, первая из которых ограничена прямой АB и содержит точку С, вторая ограничена прямой ВС и со­держит точку А, а третья ограничена прямой АС я содержит точку В.

Для получения неравенства, определяющего полуплос­кость, ограниченную прямой АВ и содержащую точку С, под­ставим в уравнение прямой АВ координаты точки С:

4*10+3*6-8=50>0

 

Поэтому искомое неравенство имеет вид: 4х+3у-8

Для составления неравенства, определяющего полуплос­кость, ограниченную прямой ВС и. содержащую точку А, най­дем уравнение прямой ВС, подставив в формулу (2) коорди­наты точек В и С:

, , ,

2х-у-14-0 (BC).

 

Подставив в последнее уравнение координаты точки А, имеем: 2*(-4)-8-14=-30<0. Искомое неравенство будет 2х—у—14≤0. Подобным образом составим неравенство, оп­ределяющее полуплоскость, ограниченную прямой АС и со­держащую точку В: 5+7*(—4)—52=-75<0. Третье искомое неравенство х+7у—52≤0. Итак, множество точек треуголь­ника АBС определяется системой неравенств

На рис. 1 в декартовой прямоугольной системе координат хОу изображен треугольник АBС, высота СD, окружность с центром в точке Е.

Рис.1

Задача 2. Составить уравнение линии, для каждой точки которой отношение расстояний до точки А(3; 0) и до прямой х=12 равно числу е = 0,5. Полученное уравнение привести к простейшему виду и построить кривую.

Р е ш е н н е. Пусть М(х; у) —текущая (произвольная) точка искомого геометрического множества точек. Опустим перпендикуляр МB на .прямую х=12 (рис. 2). Тогда B( 12; у).

По условию задачи . По формуле (1) из предыдущей задачи

МА = , МВ=.

Тогда

, ,

4х, 3х

.

Полученное уравнение представляет собой эллипс вида

где а=6, b=3.

Определим фокусы эллипса F(-с;0) и F(с;0). Для эл­липса справедливо равенство b, откуда

и с=3.

То есть, F(-3;0) и F(3;0) - фокусы эллипса (точки Fи А совпадают).

Эксцентриситет эллипса = .

Задача 3. Составить уравнение линии для каждой точки которой ее расстояние до точки А(3; —4) равно расстоянию до прямой у=2. Полученное уравнение привести к простейшему виду и построить кривую.

Решение. М(х;у) —текущая точка искомой кривой. Опустим из точки М перпендикуляр МВ на прямую у=2 (рис. 3). Тогда В{х;2). Так как МА=МВ, то

или

,

-12у-12=(х-3),

у+1=-.

 

Полученное уравнение определяет параболу с вершинойвточке 0 ' (3; —1). Для приведения уравненияпараболыкпростейшему (каноническому) виду положим х—3=Х'_, у+1= У'. Тогда в системе координат Х'О'У 'уравнениепара­болы принимает следующий вид: У=-Х').

В системекоординат Х'О'У ' строим параболу.

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение прямоугольной декартовойсистемыкоординат.
2. Напишите формулу для нахождения расстояниямеж­ду двумя точками.
3. Напишите формулы для определения координатточки, делящей данный отрезок в данном отношении.

1. Напишите формулы преобразования координат: а) при параллельном переносе системы координат; б) при повороте системы координат.
2. Напишите уравнения прямой: а) с угловым коэффици­ентом; б) проходящей через данную точку в данном направ­лении; в) проходящей через две данные точки; г) в «отрез­ках».

6. Как найти координаты точки пересечения двух пря­мых?

7. Напишите формулу для определения угла между дву­мя прямыми.

1. Каковы условия параллельности и перпендикулярности двух прямых?
2. Сформулируйте определение окружности.
3. Напишите уравнение окружности с центром в любой точке плоскости хОу ; с центром в начале координат.
4. Дайте определение эллипса. Напишите каноническое уравнение эллипса.
5. Что называется эксцентриситетом эллипса? Как из­меняется форма эллипса с изменением эксцентриситета от 0 до 1?
6. Дайте определение гиперболы. Напишите каноническое уравнение гиперболы.
7. Напишите формулу для определения эксцентриситета гиперболы.
8. Напишите уравнения для нахождения асимптот гипер­болы.
9. Сформулируйте определение параболы. Напишите каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси Оу.

 

Тема 2. Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве

[1] гл. XIX § 1-4; [3] № 452, 455, 457, 496. Разберите решение задачи 4 данного пособия. Задача 4. Даны координаты трех точек:

Вопросы для самопроверки

Тема 3. Элементы линейной алгебры

Разберите решение задачи 5 данного пособия. Задача 5. Данную систему уравнений записать в матрич­ной форме и решить ее с… Р е ш е н и е. Обозначим через А — матрицу, коэффициен­тов при неизвестных; X— матрицу-столбец неизвестных ; Н —…

Вопросы для самопроверки

Тема 4. Введение в анализ

гл. VI § 1-9; [3] № 683, 685, 700. 701;

|гл. VII § 1 —13; [3] № 716, 734, 736, 738, 744, 747, 782, 789;

гл. VIII; [3] № 816, 820, 825 (2, 3).

Разберите решение задач 6, 7 данного пособия.

Задача 6. Вычислить пределы:

а) , б) (,

в) , г) .

Решение. а) Подстановка предельного значения аргу­мента х=-3 приводит к неопределенному выражению вида

.

Для устранения этой неопределенности разложим числи­тель и знаменатель дроби на множители и сократим дробь на множитель (х+3). Такое сокращение здесь возможно, так как множитель (х+3) отличен от нуля три х:

==;

б) При хвыражение дает неопределен­ность вида . Для ее устранения умножим и разделим это выражение на (:

(==;

в) Обозначим arctg 5х=у. Тогда 5х=tg у и упри х. Применяя свойства пределов и формулу первого замечательного предела , имеем:

=;

г) При хвыражение является неопреде­ленностью вида 1. Для устранения этой неопределенности представим основание степени в виде суммы 1 и бесконечно малой при хвеличины и применим формулу второго за­мечательного предела:

.

Тогда имеем : .

Пусть 2х+1=-4у. Тогда 4х+5=-8у+3 и упри х. Переходя к переменной у, получим:

.

Задача 7. Исследовать на непрерывность функцию у =. Рис.4

Решение. Данная функция является элементарной. Известно, что всякая элементарная функция непрерывна на своей области определения. Данная функция определена на интервалах (-;1) и (1; ) и, следовательно, она непрерывна на этих интервалах. В точке х=1 функция имеет разрыв второго рода, поскольку в этой точке отсутствуют конечные односторонние пределы. График функции дан на рис. 4.

Вопросы для самопроверки

УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №2

Тема 5. Производная и дифференциал

[2] гл. X; [3] № 850, 857, 875, 888, 945, 956 [2] гл. XII; [3] № 1067, 1075, 1077. Разберите решение задачи 8 данного пособия.

Вопросы для самопроверки

Тема 6. Приложения производной

[2] гл. XI, § 1—3, 7—10; [3] № 1162, 1167, 1201, 1222, 1229.

Разберите решение задач 9, 10 данного пособия.

Задача 9. Исследовать функцию у = и построить ее график.

Решение. Исследование функции проведем по следую­щей схеме:

1. Найдем область определения функции.
2. Исследуем функцию на непрерывность.
3. Установим, является ли данная функция четной, нечет­ной.
4. Найдем интервалы возрастания и убывания функции и точки экстремума.
5. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки ее перегиба.
6. Найдем асимптоты кривой.

Реализуем указанную схему

1. Функция определена при всех значениях аргумента х, кроме х=1.
2. Данная функция является элементарной, поэтому она непрерывна на своей области определения, т. е. на интерва­лах (—оо; 1) и (1; оо).

В точке х=1 функция терпит разрыв второго рода.

3. Для установления четности или нечетности функции проверим выполнимость равенств f (-х)= f (х) (тогда f(х)— четная функция) или f (-х)= -f (х) (для нечетной функции) для любых х и —х из области определения функции:

f (-х)=, -f (х)=- .

Следовательно, f (-х)f (х) и f (-х) - f (х) , то есть данная функция не является ни четной, ни нечетной.

4. Для исследования функции на экстремум найдем ее первую производную:

у'==-.

у'=0 при х=0 и у' — не существует при х=1. Тем самым имеем две критические точки: х=0, х=1. Но точка х₂=1 не принадлежит области определения функции, экстремума в ней быть не может.

Разобьем числовую ось на три интервала (рис. 5):

(-оо; 0), (0; 1), (1; оо).

В первом и третьем интервалах первая производная отри­цательна, следовательно, здесь функция убывает; во втором интервале—положительна и данная функция возрастает. При переходе через точку х=0 первая производная меняет свой знак с минуса на плюс, поэтому в этой точке функция имеет минимум: у=у(0)=-1. Значит (0;-1) – точка минимума.

 

 

На рис. 5 знаками +, — указаны интервалы знакопостоянства производной у', а стрелками — возрастание и убыва­ние исследуемой функции.

1. Для определения точек перегиба графика функции и ин­тервалов выпуклости и вогнутости кривой найдем вторую про­изводную:

у''=-=.

 

у''=0 при х=-и у'' – не существует при х=1. Разобьем числовую ось на три интервала (рис. 6); (-; -), (-;1), (1; ).На первом интервале вторая производная у''отрицательна и дуга исследуемой кривой выпукла; на вто­ром и третьем интервалах у">0, тем самым график является вогнутым. При переходе через точку х=-у'' меняет свой знак, поэтому х=-- абсцисса точки перегиба.

Следовательно, В — точка перегиба графика функции.

 

6. х=1 – точка разрыва функции, причем .

Поэтому прямая х=1 является вертикальной асимптотой графика. Для определения уравнения наклонной асимптоты у=Rх+b воспользуемся формулами:

R=, b= .

 

Тогда R=, b= ;

 

R=,

b==.

 

При вычислении последнего предела использовалось правило Лопиталя.

Значит прямая у=0 есть горизонтальная асимптота графика исследуемой функции, представленного на рис. 7.

Задача 10. Резервуар, имеющий форму открытого сверху прямоугольного параллелепипеда с квадратным дном, нужно вылудить внутри оловом. Каковы должны быть размеры ре­зервуара при его емкости 108 л воды, чтобы затраты на его лужение были наименьшими?

Решение. Затраты на покрытие резервуара оловом бу­дут наименьшими, если при данной вместимости его поверх­ность будет минимальной.

Обозначим через а— сторону основания, b—высоту резервуара. Тогда площадь S его поверхности равна а²+4аb, а объем V=а²b²= 108. Отсюда

b=и S= а²+4аb= а²+.

 

Полученное соотношение устанавливает зависимость меж­ду площадью поверхности резервуара S (функция) и сторо­ной основания а (аргумент). Исследуем функцию S на экст­ремум. Найдем первую производную S', приравняем ее к ну­лю и решим полученное уравнение:

S'=2a-/

Отсюда а = 6. S'(а)>0 при а>6, S' (а)<0 при а<6. Следо­вательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а=6, то b=3. Таким образом, затраты на лужение резервуара ем­костью 108 л будут наименьшими, если он имеет размеры бдмб дмЗ дм.

 

 

Вопросы для самопроверки

2. Какая функция называется возрастающей? убываю­щей? 3. Сформулируйте необходимый, достаточный признаки возрастания и убывания… 4. Какие точки называются стационарными? критически­ми?

Тема 7. Функции нескольких переменных

[2] гл. XX; [3] № 1854, 1862, 1885, 1926, 2032, 2048.

Вопросы для самопроверки

Тема 8. Неопределенный интеграл

[2] гл. XIII; [3] № 1264, 1267, 1286, 1318, 1363, 1365, 1426, 1572.

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте определение первообразной функции.
2. Что называется неопределенным интегралом от данной функции?
3. Перечислите основные свойства неопределенного инте­грала.
4. Напишите формулы таблицы основных интегралов.
5. В чем сущность метода интегрирования заменой пере­менной?
6. Напишите формулу интегрирования по частям в неопре­деленном интеграле.

 

Тема 9. Определенный интеграл

Разберите решение задачи 11 данного пособия. Задача 11. Вычислить площадь фигуры, ограниченной ли­ниями у=х2+4х, у=х+4… Решение. Площадь S фигуры, ограниченной сверху и снизу непрерывными линиями у=f(х) и у=(х), пересекаю­щимися в точках…

УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 3

Тема 10. Дифференциальные уравнения

Разберите решение задач 12, 13 данного пособия. Задача 12. Решить уравнение у'—уtgх =-у2соз х. Решение. Данное уравнение является уравнением Бернулли. Для его решения (как и для линейного уравнения) ис­комую…

Вопросы для самопроверки

13. Что называется общим решением дифференциального уравнения? частным решением? 14. Каков геометрический смысл частного решения диф­ференциального уравнения… 15. Приведите примеры дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.

Тема II. РЯДЫ

Разберите решение задач 14, 15 данного пособия. Задача 14. Написать первые три члена ряда найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходи­мость на концах интервала.

Вопросы для самопроверки

2. Что называется n-й частичной суммой числового ряда? 3. Какой числовой ряд называется сходящимся? 4. Что является необходимым условием сходимости числового ряда?

УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 4

Тема 12. Повторные независимые испытания

Разберите решения задач 16—19 методических указаний. Задача 16. Вероятность всхожести семян пшеницы равна 0,9. Какова вероятность… Решение. Пусть событие А — из 4 семян взойдут не менее 3 семян; событие В — из 4 семян взойдут 3 семени; событие С —…

Вопросы для самопроверки

2. Какие события называются несовместимыми? совместимыми? противоположными? 3. Что называется относительной частотой события? 4. Сформулируйте статистическое определение вероятности события.

Тема 13. Случайные величины и их числовые характеристики

[7] № 165. 176. 188. 210, 254. 263, 276, 328, 341. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Задача 20. Задан закон распределения дискретной случайной величины Х:

Вопросы для самопроверки

2. Что называется законом распределения случайной ве­личины? Как задается закон распределения дискретной слу­чайной величины? 3. Что называется математическим ожиданием дискрет­ной случайной величины? ее… 4. Дайте определение интегральной функции распределе­ния; дифференциальной функции распределения. Перечисли­те…

Тема 14. Элементы линейного программирования

Задача 23. Предприятие имеет возможность приобрести не более 20 трехтонных и не более 18 пятитонных автомашин. Отпускная цена трехтонного грузовика… Решение. Пусть приобретено х1 трехтонных и х2 пяти­тонных автомашин. Из… (1)

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте основную задачу линейного програм­мирования. Приведите примеры.

2. Дайте геометрическую интерпретацию основной задачи линейного программирования.

3. В чем суть симплекс-метода решения задач линейного программирования?

ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Контрольная работа № 1

Найти: 1) длину стороны АВ 2) уравнения сторон АВ и АС и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол А в радиа­нах с точностью до 0,01; 4) уравнение… 1. A(—5; 0), B(7; 9), C(5; —5). 2. А(—7; 2), B(5; 11), C(3; —3).

Контрольная работа №2

81. а) у=хtgx+Lncosx+e; б) ; в) . 82. а) ; б) ;

Контрольная работа №3

181. . 182. . 183. . 184. . 185. . 186. .

Контрольная работа № 4

252.Студент знает ответы на 20 из 25 вопросов програм­мы. Найти вероятность того, что он знает ответы на предло­женные ему экзаменатором три… 253.Для некоторой местности в июле шесть пасмурных дней. Найти вероятность… 254. Из 200 рабочих норму выработки не выполняют 15 че­ловек. Найти вероятность того, что два случайно выбранных…

ПРИЛОЖЕНИЯ

Значения функции x 0.0 0.1 0.2 0.3 …