Тема 10. Дифференциальные уравнения

[2] гл. XXII § 1—13; [3] № 2058, 2067, 2094, 2102, 2165, 2186,2213,2215,

Разберите решение задач 12, 13 данного пособия.

Задача 12. Решить уравнение у'—уtgх =-у²соз х.

Решение. Данное уравнение является уравнением Бернулли. Для его решения (как и для линейного уравнения) ис­комую функцию у представим в виде произведения двух дру­гих функций: и=и(х) и =(x), то есть введем подстановку у=и*. Тогда у'=и'+и' и данное уравнение примет вид:

и'+ и'- иtg х= -.

или

(и'-иtgх)+и'=-. (1)

Выберем функцию и так, чтобы

и'-иtgх=0. (2)

При подобном выборе функции и уравнение (1) примет вид

и'=-или '=-. (3)

Решая (2) как уравнение с разделяющимися переменными, имеем:

, , In и = - In cos х, и=-.

Здесь произвольная постоянная С=0. Подставляя найденное значение и в уравнение (3) , имеем:

, , , .

Тогда у=и*=- общее решение данного уравнения.

 

Задача 13. Найти частное решение уравнения у"+4у=4sin2х-8cos2х, удовлетворяющее начальным условиям у(0)=0, у' (0) =0.

Решение. Общее решение у данного уравнения равно сумме общего решения уоднородного уравнения и какого-либо частного решения у данного уравнения, то есть

у= у+.

Для нахождения усоставим характеристиче­ское уравнение R+4=0, имеющее комплексные корни.

R=2i и R=-2i. В этом случае общее решение однородного уравнения ищем в виде

у= е(Сcosх+Сsin), (4)

где — комплексные корни характеристического уравне­ния. Подставив в (4) =0, = 2, имеем:

у=Ccos2х+Сsin2х.

Для нахождения частного решения неоднородного диф­ференциального уравнения воспользуемся следующей тео­ремой: если правая часть неоднородного уравнения есть функция f(х)= е(аcosх+bsin) и числа не явля­ются корнями характеристического уравнения, то существует частное решение

= е(Аcosх+Вsin). Если же числа являются корнями характеристического уравнения, то существует частное решение

= хе(Аcosх+Вsin).

Применяя эту теорему при , , имеем:

= х (Аcos2х+Вsin2х).

 

Дважды дифференцируя последнее равенство, находим =(4В-4Ах)cos2х+(-4А-4Вх)sin2х.

Подставив в данное уравнение и получим:

4Всоз2х—4Аsin2х=4sin2х-8соз2х,

откуда А =-1, В = —2.

Следовательно, =-х(cos2х+2sin2х) и у= Ccos2х+Сsin2х-х(cos2х+2sin2х).

Найдем у':

у'=-2 sin2х+2Сcos2х- cos2х-2 sin2х-х(-2 sin2х+4 cos2х).

Используя начальные условия, получим систему

, откуда C=0, С=.

 

Следовательно,

у=sin2х-х(cos2х+2sin2х) - есть искомое частное решение данного дифференциального уравнения.