Тема 12. Повторные независимые испытания

[6] гл. 5; [7] № 112, 115, 119, 120, 131.

Разберите решения задач 16—19 методических указаний.

Задача 16. Вероятность всхожести семян пшеницы равна 0,9. Какова вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут не менее трех?

Решение. Пусть событие А — из 4 семян взойдут не менее 3 семян; событие В — из 4 семян взойдут 3 семени; событие С — из 4 семян взойдут 4 семени. По теореме сложения вероятностей

Р(А)=Р(В)+Р(С).

Вероятности Р(В) и Р(С) определим по формуле Бернулли, применяемой в следующем случае. Пусть проводится серия n независимых испытаний, при каждом из которых вероятность наступления события постоянна и равна р, а вероятность не- наступления этого события равна q=1—р. Тогда вероятность того, что событие А в n испытаниях появится ровно R раз, вычисляется по формуле Бернулли

P(R)=C,

где C=- число сочетаний из n элементов по R.

Тогда

Р(В) =Р(3) =Срq=;

Р(С) = Р(4) =С.

Искомая вероятность

Р(А) =0,2916+0,6561 =0,9477.

Задача 17. Вероятность всхожести семян пшеницы равна 0,9. Найти вероятность того, что из 400 посеянных семян взойдут 350 семян.

Решение. Вычислить искомую вероятность Р(350) по формуле Бернулли затруднительно из-за громоздкости вычислений. Поэтому применим приближенную формулу, выражающую локальную теорему Лапласа:

,

Где и х=.

Из условия задачи р = 0,9; q = 1—0,9 = 0,1; n = 400; R = 350.

Тогда х=

Из таблицы 1 приложений находим (—1,67) =(1,67) = 0,0989. Искомая вероятность равна

.

Задача 18. Среди семян пшеницы 0,02% сорняков. Какова вероятность того, что при случайном отборе 10 000 семян бу­дет обнаружено 6 семян сорняков?

Ре шел и е. Применение Локальной теоремы Лапласа из-за малой вероятности р = 0,0002 приводит к значительному отклонению вероятности от точного значения Поэтому при малых значениях р для вычисления применяют асимптотическую формулу Пуассона

, где е=2,7182...; = пр.

Эта формула используется при 10, причем чем меньше р и больше п, тем результат точнее.

По условию задачи р = 0,0002; n= 10 000; R= 6. Тогда = 10 0000,0002 = 2 и

.

 

Задача 19. Процент всхожести семян пшеницы равен 90%. Найти вероятность того, что из 500 посеянных семян взойдут от 400 до 440 семян.

Решение. Если вероятность наступления события А в каждом из п испытаний постоянна и равна р, то вероятность того, что событие А в таких испытаниях насту­пит не менее раз и не более раз определяется по инте­гральной теореме Лапласа следующей формулой:

, где

 

, .

 

Функция Ф(х) =называется функцией Лапласа. В приложениях (табл. 2) даны значения этой функ­ции для . При х>5 функция Ф(х)=0,5. При отрица­тельных значениях х в силу нечетности функции Лапласа Ф(-х)=-Ф(х). Используя функцию Лапласа, имеем:

.

По условию задачи n=500; р=0,9; q= 0.1; ; .По приведенным выше формулам находим :

; .

Тогда

.