гл. 6. § 1—3, гл. 7. 8. 10. 11;
[7] № 165. 176. 188. 210, 254. 263, 276, 328, 341.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 20. Задан закон распределения дискретной случайной величины Х:
Х 40 42 41 44
Р 0,1 0,3 0,2 0,4
Найти: 1) математическое ожидание М(Х);2) дисперсию D(Х); 3) среднее квадратическое отклонение .
Решение. 1) Если закон распределения дискретной случайной величины задан таблицей
Х …
Р …,
где в первой строке даны значения случайной величины X, а во второй - вероятности этих значений, то математическое ожидавшие М(Х) вычисляется по формуле
М(Х) =.
Тогда М(Х) =.
2) Дисперсией D(X) дискретной случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания, т. е.
.
Эта величина характеризует среднее ожидаемое значение квадрата отклонения X от М(Х). Из последней формулы имеем
Дисперсию D(Х) можно найти другим способом, исходя из следующего ее свойства: дисперсия D(Х) равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины X и квадратом ее математического ожидания М(Х), то есть
.
Для вычисления М (X2) составим следующий закон распределения величины Х
Х 40 42 41 44
Р 0,1 0,3 0,2 0,4
Тогда
и
D(X)=1799.8-42.4
3) Для характеристики рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения вводится среднее квадратическое отклонениеслучайной величины X, равное квадратному корню из дисперсии D(Х), то есть
.
Из этой формулы имеем: .
Задача 21. Непрерывная случайная величина X задана интегральной функцией распределения
Найти: 1) дифференциальную функцию распределения f(x);2)математическое ожидание М(Х); 3) дисперсию D (X).
Решение. 1) Дифференциальной функцией распределения f(x)непрерывной случайной величины X называется производная от интегральной функции распределения F(х), то есть
F(x)=F’(x).
Искомая дифференциальная функция имеет следующий вид:
f(x)=
2) Если непрерывная случайная величина Х задана функцией f(x), то ее математическое ожидание определяется формулой
М(Х)=.
Так как функция f(х) при хравна нулю, то из последней формулы имеем М(Х)=f(x)dx=dx=
3) Дисперсию D(Х) определим по формуле
D(Х)= .
Тогда
D(Х)=
Задача 22. Длина детали представляет собой нормально распределенную случайную величину с математическим ожиданием 40 мм и средним квадратическим отклонением 3 мм. Найти: 1) вероятность того, что длина произвольно взятой детали будет больше 34 мм и меньше 43 мм; 2) вероятность того, что длина детали отклонится от ее математического ожидания не более чем 1,5 мм.
Решение: 1) Пусть X — длина детали. Если случайная величина X задана дифференциальной функцией f(х), то вероятность того, что X примет значения, принадлежащие отрезку [; ], определяется по формуле
Pf(x)dx.
Вероятность выполнения строгих неравенств определяется той же формулой. Если случайная величина X распределена по нормальному закону, то
, (1)
Где Ф(х) - функция Лапласа, а=М(х), D(x).
В задаче а = 40, = 34, =43, =3. Тогда
2) По условию задачи , где а = 40; =1,5.
Подставив в (1) , ,имеем
,то есть
(2)
Из формулы (2) имеем:
.