Тема 5. Производная и дифференциал

[2] гл. IX, § 1—5; [3] № 907, 908, 910;

[2] гл. X; [3] № 850, 857, 875, 888, 945, 956

[2] гл. XII; [3] № 1067, 1075, 1077.

Разберите решение задачи 8 данного пособия.

Задача 8. Найдите производные функции:

а) у=In (2+sin 3х) ; б) у=(3+1);

в) cos (ху)-3у

Решение: а) Последовательно применяя правилодиф­ференцирования сложной функции, правила и формулы диф­ференцирования, имеем:

у'='='='+(sin3х)'='=;

б)у'='=4(3+1)*(3+1)'=4(3+1)*3*In3*(arctg)'=

=4(3+1)* 3*In3**'=*3*(3+1);

в) В данном случае функциональная зависимость задана в неявном виде. Для нахождения производной у' нужно продифференцировать по переменной х обе части уравнения, считая при этом у функцией от х, а затем полученное урав­нение разрешить относительно у':

-sin (ху)*(ху)'-6уу'+4=0,

-sin (ху)*(у+2хуу')-6уу'+4=0,

-уsin (ху)-2хуу' sin (ху)-6уу'+4=0.

Из последнего уравнения находим у':

2уу'х sin (ху)+3=4- уsin (ху),

у'=.