Зміна порядку інтегруванняприводить до зміни меж інтегрування, що
може суттєво впливати на характер обчислень. Тому необхідно намагатися
обирати той із варіантів заміни на повторні інтеграли, при якому можна простіше виконати обчислення.
Крок 1.Побудуємо область інтегрування. Перевіримо виконання умов існування подвійного інтеграла.
1. Припустимо, що підінтегральна функція неперервна в області інтегрування.
2. Область інтегрування є квадровною замкненою обмеженою областю.
З рисунку видно, що ця область є правильною в напряму обох осей. Але в обох напрямах при інтегруванні необхідно її розбивати на дві частини, як показано на рисунку.
| Розбиття області інтегрування в напряму осі ОУ. | Розбиття області інтегрування в напряму осі ОХ. |
Крок 2.Знайдемо кутові точки області інтегрування. Область має чотири кутові точки.
– Точка О – початок координат .
– Точка С перетину прямої і осі абсцис ОХ , її координати .
– Точка А перетину прямої і гіперболи .
Знайдемо координати точки А, розв’язавши систему:
Підставимо значення невідомого у з першого рівняння в друге, одержимо рівняння:
.
Рівняння має два корені: , . Виходячи з умови задачі , вибираємо додатний корінь . Знайдемо ординату кутової точки А. Підставимо значення у рівняння , одержимо .
Координати точки .
– Точка В перетину прямої і гіперболи . Знайдемо її координати, підставивши значення в рівняння гіперболи: , звідси . Координати точки .
Кутові точки області інтегрування мають координати , , , .
Варіант 1
Крок 1.3. Область інтегрування D є правильною в напрямі осі ОУ. Нижня межа відповідає відрізку осі абсцис Але її верхня межа складається з двох ланцюгів: відрізка ОА і дуги гіперболи АВ. Поділимо область на дві частини, , так, щоб межа кожної частини відповідала одному з ланцюгів. Опишемо кожну частину області аналітично за допомогою системи нерівностей.
1) Область .
Інтервал зміни значень змінної х встановимо у відповідності до значень абсцис кутових точок і області інтегрування.
Значення змінної у в межах області інтегрування обмежені знизу величинами ординат точок осі абсцис, , а зверху відрізком прямої .
Отже,
:
2) Область .
Інтервал зміни значень змінної х встановимо у відповідності до значень
абсцис кутових точок і області інтегрування.
В межах області інтегрування значення змінної у обмежені величинами ординатами знизу точок осі абсцис, , а зверху точок дуги гіперболи .
Отже,
:
Крок 1.4. Складемо подвійний інтеграл:
Крок 1.5. Запишемо його через повторні інтеграли, скориставшись аналітичним описом областей інтегрування і :
Варіант 2
Крок 2.3.Область інтегрування D є правильною в напрямі осі ОХ. Але її верхня межа складається з двох ланцюгів: відрізка ВС і дуги гіперболи АВ. Поділимо область на дві частини, , так, щоб межа кожної частини відповідала одному з ланцюгів. Опишемо кожну частину області аналітично за допомогою системи нерівностей.
3) Область .
Інтервал зміни значень змінної х встановимо у відповідності до значень абсцис кутових точок і області інтегрування.
Значення змінної у в межах області інтегрування обмежені знизу величинами ординат точок осі абсцис, , а зверху відрізком прямої .
Отже,
:
4) Область .
Інтервал зміни значень змінної х встановимо у відповідності до значень
абсцис кутових точок і області інтегрування.
Значення змінної у в межах області інтегрування обмежені знизу величинами ординат точок осі абсцис, , а зверху дугою гіперболи .
Отже,
:
Крок 1.7.Підставимо знайдену функцію у зовнішній інтеграл і обчислимо його,
.
Площа області інтегрування дорівнює .