Вища математика

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ТЕХНОЛОГІЙ ТА ДИЗАЙНУ

 

Вища математика

 

Модуль 5

Кратні та криволінійні інтеграли

для перевірки самостійної роботи студентів та варіанти тестів напрям підготовки «Технологія виробів легкої промисловості» за ОКР «Бакалавр» всіх форм навчання

Література

1. Денисюк В.П., Репета В.К. Вища математика. Модульна технологія навчання: Навч. посібник: У 4 ч. – Ч.1. Книжкове вид-во НАУ, 2005. – 298 с.

2. Дубовик В.П., Юрик І.І. Вища математика. – К.: А.С.К., 2001. – 648 с.

3. Шнейдер В.Е., Слуцкий А.И., Шумов А.С. Краткий курс высшей математики (в двух томах). Учеб. пособие для втузов. – М.: „Высшая школа”, 1978.

4. В.Ф. Антоненко, Т.І. Олешко, Ю.А. Паламарчук. Вища математика. Модуль 1. Лінійна алгебра: Навч. посібник / За ред. проф. Т.І. Олешко. – К.: Книжкове видавництво НАУ, 2005. – 140 с.

 

Зміст

Вступ…………………………..………………………………………………….
Кратні та криволінійні інтеграли……………………………………………
1. Подвійний інтеграл. Основні поняття та теореми….…..………
1.1.Тести для перевірки базових знань на рівні понять, означень, формулювань по темі «Подвійний інтеграл»……………………………
1.2. Приклади розв’язання задач …………………………………………….
1.3. Тести для перевірки умінь обчислення подвійних інтегралів……………
2. Криволінійні інтеграли першого роду. Основні поняття та теореми……………………………………………………………………….
2.1. Тести для перевірки базових знань на рівні понять, означень, формулювань по темі «Визначники»………...………………………….
2.2. Приклади розв’язання задач …………………………………………….
2.3. Тести для перевірки умінь обчислення визначників.………….....………
3. Криволінійні інтеграли другого роду. Основні поняття та теореми………………………………………………………………………
3.1. Тести для перевірки базових знань на рівні понять, означень, формулювань по темі «Системи лінійних алгебраїчних рівнянь»……..
3.2. Приклади розв’язання задач ……………………………………………
3.3. Тести для перевірки умінь розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь …………………………………………………….
4. Ранг матриці……………………………………………………………….
4.1. Тести для перевірки базових знань на рівні понять, означень, формулювань по темі «Ранг матриці».…………................................................
4.2. Приклади розв’язання задач …………………………………………….
4.3. Тести для перевірки умінь знаходження рангу матриці……………….
5. Метод Гаусса……………………………………………………………….
5.1. Тести для перевірки базових знань на рівні понять, означень, формулювань по темі «Метод Гаусса».…………...............................................
5.2. Приклади розв’язання задач ……………………………………………….
5.3. Тести для перевірки умінь розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом Гаусса…………………………………………………………

Література ……………………………………………………………………./63

Вступ

 

У рамках створеного в КНУТД Модульного середовища передбачено застосування комп’ютерів в тестуванні як інструменту аналізу знань. Тестування є одним із способів швидкої перевірки знань і навичок, одержаних студентами. Тести розроблено із застосуванням відкритої освітньої (Open Source) системи управління навчанням Moodle. Електронне модульне тестування по всіх темах навчальної дисципліни «Вища математика» проходить у формі електронних контрольних робіт.

Призначення даного методичного комплексу автори бачать в тому, щоб допомогти студентам активно і неформально засвоїти розділ «Кратні та криволінійні інтеграли» навчальної дисципліни «Вища математика», а, також, активізувати самостійну роботу студентів по підготовці до електронного тестового контролю. Завдання, які входять до складу електронного тестового пакету, містять як теоретичні питання, так і практичні задачі.

Об’єднання фундаментального теоретичного матеріалу та можливостей сучасних інформаційних технологій дозоляє студентам більш ефективно вивчати навчальну дисципліну «Вища математика», самостійно розширювати та удосконалювати свої знання.

Представлені тести можна використовувати для усного опитування студентів на практичних заняттях, а, також, для СРС.

Даний методичний комплекс напрямлений на розвинення і вдосконалення у студентів другого курсу навичок самостійної роботи з математичною літературою, проведення самоконтролю якості засвоєння одержаних знань. Крім того, він має допомогти студентам виробити навички розв’язання типових задач, які стосуються розділу «Кратні та криволінійні інтеграли».

Структура методичного комплексу підпорядкована розв’язанню поставленої задачі. Весь методичний матеріал поділено на чотири пункти:

1. У пункті «Основні поняття та теореми» наводяться без доведення основні теоретичні відомості (означення, теореми, формули). Ці відомості іноді супроводжуються пояснювальними прикладами або коментарями, які напрямлені на те, щоб полегшити студентам сприйняття та засвоєння нових математичних понять та означень.

2. У пункті «Тести для перевірки базових знань на рівні понять, означень, формулювань» розміщені тести для перевірки рівня засвоєння студентами базових теоретичних положень, а, також, задачі, розв’язання яких не пов’язано з громіздкими обчисленнями, але які ілюструють те або інше теоретичне положення.

Призначення пункту – допомогти студентам в самостійній роботі над опануванням теоретичного матеріалу, звернути їх увагу на основні властивості базових математичних положень, а, також, надати їм можливість самостійно проконтролювати рівень засвоєння основних математичних понять.

До «Банку запитань» для організації електронного тестування з використанням платформи Moodle включені аналогічні питання.

3. У пункті «Приклади розв’язання задач»подається розв’язання типових базових задач по темі, яка вивчається. Кількість розібраних прикладів варіюється в залежності від об’єму та важливості теми.

4. У пункті «Тести для перевірки умінь розв’язання задач» наводяться приклади тестових задач аналогічні до тих, які включені до «Банку запитань». Підчас проведення проміжного та модульного контролю комп’ютер випадковим чином автоматично формує тестові набори питань з тих, які включені до «Банку запитань».

КРАТНІ ТА КРИВОЛІНІЙНІ ІНТЕГРАЛИ

Подвійний інтеграл

 

Основні поняття та теореми

Подвійний інтеграл розглядається в квадровній області D евклідової площини для обмеженої функції , яка… Базові поняття, які вводяться при вивченні теми "Подвійні…  

Двовимірний Евклідів простір

. (1.1) Значення функції відповідають відстані між точками і декартової… Функція називається евклідовою метрикою на множині Е. Метрика задовольняє умови:

Область в Евклідовому просторі

Обмежена область або обмежена множина точок у двовимірному (тривимірному ) Евклідовому просторі – це така множина, для якої існує коло… точки області (рис.1.1).   Рис. 1.1   Рис.… Область D є зв’язною у Евклідовому просторі, якщо будь-які дві точки області можна сполучити ламаною, яка цілком…

Нтегральна сума

Наприклад. Для однорідної пластини її маса пропорційна площі пластини, оскільки чисельне значення об’єму пластини відрізняється від чисельного… Геометрію пластини опишемо аналітично як деяку область D площини ХОУ. Закон… При побудові математичної моделі наближене значення шуканої величини F в області D визначають як суму нескінченно…

Подвійний інтеграл

(1.4) Повернемось до інтегральної суми . Позначимо найбільшу з елементарних площ … Якщо інтегральна сума при має границю,

Правильні області

значення подвійного інтеграла як границі інтегральної суми є досить складним. Розглянемо більш прості види областей на евклідовій площині. Області правильні в напряму координатних осей

Властивості подвійного інтеграла.

Конструктивно означення визначеного інтеграла і подвійного інтеграла аналогічні. Ці інтеграли є границею певних інтегральних сум, тому і їх властивості теж є аналогічними.

Границі інтегральних сум, формули (1.4) та (1.5), існують, якщо функція – неперервна в області D, а область D – обмежена замкнена квадровна область евклідового двовимірного простору.

Властивості подвійних інтегралів

Якщо підінтегральна функція є лінійною комбінацією інтегрованих функцій, то подвійний інтеграл можна представити у вигляді аналогічної лінійної… (1.9) де та – дійсні числа.

Обчислення подвійних інтегралів.

Розглянемо область D правильну в напряму осі ОУ (рис.1.8), обмежену прямими та , , і кривими та , для , то для подвійного… (1.16) Якщо область D правильна в напряму осі ОХ (рис.1.9), обмежена прямими та , , і кривими та , для ,…

Розглянемо деякі приклади застосування подвійного інтеграла.

Геометричний зміст подвійного інтеграла.

1.1. За допомогою подвійних інтегралів обчислюють об’єм циліндричних тіл, при умові, що підінтегральна функція невід’ємна в області D. При складанні інтегральної суми вважають, що значення функції (висота тіла ) в межах елементарної частини розбиття області інтегрування D є сталою (рис. 12), тому об’єм елементарного тіла можна обчислити за формулою об’єму паралелепіпеда, .

Об’єм всього циліндричного тіла, обмеженого зверху деякою поверхнею, дорівнює границі інтегральної суми:

.

 

Рис.13

Приклад 1.3. Об’єм циліндричного тіла (рис.13), обмеженого зверху поверхнею , знизу площиною , з боку циліндричною поверхнею , де – рівняння межі області інтегрування D в площині ХОУ, дорівнює подвійному інтегралу . Межа області інтегрування є напрямною циліндричної поверхні, твірна якої паралельна до осі OZ.

 

1.2.Якщо підінтегральна функція є сталою і дорівнює одиниці,

, то значення подвійного інтеграла чисельно дорівнює площі області інтегрування D:

.

Маса неоднорідної пластини.

Якщо для пластини розподіл густини в межах області D визначається

Функцією , то її маса її дорівнює

.

При складанні інтегральної суми вважають, що густина в межах елементарної частини розбиття області D є сталою, тому маса частини розбиття обчислюється за формулою маси однорідної пластини . Маса всієї неоднорідної пластини дорівнює границі інтегральної суми:

.

Подвійні інтеграли застосовуються у фізиці також для обчислення центра маси пластини, статистичних моментів відносно координатних осей, моменту інерції пластини.

 

Тести для перевірки

Базових знань на рівні понять, означень, формулювань

  1. Інтегральну суму функції по області D обчислюють за формулою: а) ; б) ;

.

а) ; б) ; в) ;

г)

Вказати всі вірні відповіді (підкреслити).

19. Які з вказаних областей обмежених кривими і є правильними у напряму осі ОУ:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

Вказати всі вірні відповіді (підкреслити).

20. Які з вказаних областей обмежених кривими і є правильними у напряму осі ОХ:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

Вказати всі вірні відповіді (підкреслити).

21. Які з областей є правильними в напряму осі ОУ:

а)

б)

в)

Вказати всі вірні відповіді (підкреслити).

22. Для області інтегрування D вказати вірний запис переходу від подвійного інтеграла до повторного.

 

Дуга описується функцією . Дуга описується функцією . Дуга описується функцією . Дуга описується функцією .

а) ; б) ;

в) ; г)

Вказати вірну відповідь (підкреслити).

23.

Для області інтегрування D вказати вірний запис переходу від подвійного інтеграла до повторного.

а) ; б) ;

с) ; d) .

Вказати вірну відповідь (підкреслити).

Приклади розв’язання задач

 

Приклад 1.1

Обчислити повторний інтеграл Побудувати область інтегрування.

Розв’язання

Повторний інтеграл   розглядається з урахуванням, що область є правильною в напряму осі ОУ.

Приклад 1.2

Обчислити повторний інтеграл Побудувати область інтегрування.

Розв’язання

У напряму осі ОХ нижню межу утворює відрізок прямої , а верхню межу утворює відрізок прямої . Таким чином, заміну подвійного інтеграла на…   Крок 2.Обчислимо внутрішній інтеграл, розклавши його на алгебраїчну суму інтегралів. При інтегруванні по змінній х…

Приклад 1.3

Для області D, яка обмежена прямими , , гіперболою , та віссю ОХ, , для та , записати подвійний інтеграл від функції

у вигляді повторних, взятих у різних напрямах.

Розв’язання

може суттєво впливати на характер обчислень. Тому необхідно намагатися обирати той із варіантів заміни на повторні інтеграли, при якому можна… Крок 1.Побудуємо область інтегрування. Перевіримо виконання умов існування подвійного інтеграла.

Приклад 1.4

Обчислити подвійний інтеграл від функції по області . Побудувати область інтегрування. Обчислити інтеграл при різному порядку інтегрування.

Розв’язання

Обчислимо подвійний інтеграл, проводячи заміну на повторний спочатку в напряму осі ОУ, а потім у напряму осі ОХ. Варіант 1 Крок 1.1. Складемо подвійний інтеграл:

Приклад 1.5

Обчислити площу області D, яка обмежена прямими , і гіперболою , якщо та . Обчислення виконати, для повторних інтегралів, взятих у різних напрямах.

 

Розв’язання

З рисунку видно, що ця область є правильною в напряму обох осей. Крок 2.Знайдемо кутові точки області інтегрування. Область має три кутові… – точка В перетину прямих та ; її координати ;

Область .

Область .

1) Обчислимо внутрішній інтеграл: . 2) Обчислимо зовнішній інтеграл:

Приклад 1.6

Обчислити об’єм циліндричного тіла, обмеженого поверхнею ,

площиною та циліндричною поверхнею, напрямна якої складається з дуг двох парабол: , , які розміщені в площині ХОУ.

Розв’язання

1. Функція є неперервною в області інтегрування. 2. Область інтегрування є квадровною замкненою, обмеженою областю. З малюнку видно, що ця область є правильною в напряму обох осей.

Тести для перевірки

Умінь обчислення подвійних інтегралів

Крок 1.Побудуємо область інтегрування. Перевіримо виконання умов існування подвійного інтеграла.   3. При обчисленні площі …   З рисункувидно, що ця область є правильною в напряму осі ОУ.

Криволінійні інтеграли першого роду.

Основні поняття та теореми