Крок 1.Побудуємо область інтегрування. Перевіримо виконання достатніх умов існування подвійного інтеграла.
| 1. Областю інтегрування є прямокутник. Це квадровна область. 2. Підінтегральна функція є неперервною в області інтегрування. Область інтегрування є правильною в напряму обох осей. |
Обчислимо подвійний інтеграл, проводячи заміну на повторний спочатку в напряму осі ОУ, а потім у напряму осі ОХ.
Варіант 1
Крок 1.1. Складемо подвійний інтеграл:
Крок 1.2. Замінимо його на повторний інтеграл, враховуючи, що область інтегрування є правильною в напряму осі ОУ:
Крок 1.3.Обчислимо внутрішній інтеграл:
.
Крок 1.4.Підставимо знайдену функцію у зовнішній інтеграл і обчислимо його,
.
Крок 1.5.Обчислимо подвійний інтеграл від функції :
.
Варіант 2
Обчислимо інтеграл, змінивши порядок інтегрування.
Крок 2.1. Складемо подвійний інтеграл:
Крок 2.2. Замінимо його на повторний інтеграл, враховуючи, що область інтегрування є правильною в напряму осі ОХ:
Крок 2. 3.Обчислимо внутрішній інтеграл:
.
Крок 2.4.Підставимо знайдену функцію у зовнішній інтеграл і обчислимо його,
.
Крок 2.5.Обчислимо подвійний інтеграл від функції :
.
Таким чином, бачимо, що значення інтеграла не залежить від порядку інтегрування.