Крок 1.Побудуємо область інтегрування. Перевіримо виконання умов існування подвійного інтеграла.
| 1. При обчисленні площі області інтегрування вважаємо, що підінтегральна функція , отже вона неперервна в цій області. 2. Область інтегрування є квадровною замкненою обмеженою областю. |
З рисунку видно, що ця область є правильною в напряму обох осей.
Крок 2.Знайдемо кутові точки області інтегрування. Область має три кутові точки:
– точка В перетину прямих та ; її координати ;
– точка С перетину прямої і гіперболи ; її координати ;
– точка А перетину прямої і гіперболи .
Знайдемо координати точки А, розв’язавши систему
Підставимо значення невідомого у з першого рівняння в друге, одержимо рівняння з невідомим :
.
Рівняння має два корені: , . Виходячи з умови задачі , вибираємо додатний корінь .
Знайдемо ординату кутової точки А. Підставимо значення у рівняння , одержимо .
Кутові точки області інтегрування мають координати , , .
Варіант 1
Крок 1.3. Область інтегрування D є правильною в напряму осі ОУ. Опишемо її аналітично за допомогою системи нерівностей.
Інтервал зміни значень змінної х встановимо у відповідності до значень абсцис кутових точок і області інтегрування.
Значення змінної у в межах області інтегрування D обмежені знизу величинами ординат точок, які належать гіперболі (нижня межа), а зверху величинами ординат точок, які належать прямій (верхня межа).
D:
Крок 1.4. Запишемо подвійний інтеграл через повторний інтеграл, скориставшись аналітичним описом області інтегрування:
Крок 1.5.Обчислимо внутрішній інтеграл:
Крок 1.6.Підставимо знайдену функцію у зовнішній інтеграл і обчислимо його,
.
Площа області інтегрування дорівнює .
Обчислимо подвійний інтеграл, змінивши порядок інтегрування.
Варіант 2
Крок 2.3. Область інтегрування D є правильною в напрямі осі ОХ.
| Але її нижня межа складається з двох ланцюгів: перший належить гіперболі , а другий прямій . Тому, розіб’ємо область на дві частини: . |
Опишемо кожну частину розбиття область інтегрування D аналітично за допомогою систем нерівностей.
1) Розглянемо область .
Інтервал зміни значень змінної у встановимо у відповідності до значень ординат кутових точок і області інтегрування.
Значення змінної х в межах області обмежені знизу величинами абсцис точок, які належать гіперболі (нижня межа), а зверху величинами абсцис точок, які належать прямій (верхня межа).
.
2) Розглянемо область .
Інтервал зміни значень змінної у встановимо у відповідності до значень ординат кутових точок і області інтегрування.
Значення змінної х в межах області обмежені знизу величинами абсцис точок, які належать прямій (нижня межа), а зверху величинами абсцис точок, які належать прямій (верхня межа).
.
Крок 2.4. Складемо подвійний інтеграл:
Крок 2.5. Запишемо подвійний інтеграл через повторні інтеграли, скориставшись аналітичним описом області інтегрування. Для кожної частини розбиття виконаємо окремо перехід від подвійного інтеграла до повторного.