Крок 1.Побудуємо область інтегрування. Перевіримо виконання умов існування подвійного інтеграла:
1. Функція є неперервною в області інтегрування.
2. Область інтегрування є квадровною замкненою, обмеженою областю.
З малюнку видно, що ця область є правильною в напряму обох осей.
Крок 1.Знайдемо кутові точки області інтегрування (точки перетину парабол), розв’язавши систему рівнянь:
Підставимо у з першого рівняння в друге, одержимо рівняння:
.
Рівняння має два корені: , . За знайденими абсцисами кутових точок області інтегрування знайдемо ординати цих точок. Підставимо значення
, у рівняння . Одержимо , .
Кутові точки області інтегрування мають координати , .
Крок 2. Опишемо аналітично область інтегрування за допомогою системи нерівностей.
Інтервал зміни значень х встановимо у відповідності до значень абсцис кутових точок і області інтегрування.
Змінна у приймає значення, які відповідають ординатам точок, що лежать на параболах (від нижньої до верхньої межі).
D:
Крок 3. Складемо подвійний інтеграл:
Крок 4. Запишемо його через повторні інтеграли, скориставшись аналітичним описом області інтегрування:
Крок 5.Обчислимо внутрішній інтеграл:
.
Крок 6.Підставимо знайдену функцію у зовнішній інтеграл і обчислимо його,
.
Об’єм циліндричного тіла дорівнює .