Розв’язання багатьох практичних задач пов’язано з обчисленням значення деякої величини F, закон зміни якої невідомий, але відома функція f, яка певним чином характеризує цей змінний процес в точках заданої області D. Значення невідомої величини F залежать від заданої функції f та від вибору області D.
Наприклад. Для однорідної пластини її маса пропорційна площі пластини, оскільки чисельне значення об’єму пластини відрізняється від чисельного значення її площі на нескінченно малу величину, тобто , , . Якщо ж обчислити за розглянутими формулами масу неоднорідної пластини, то одержаний результат буде мати велику похибку. Тому необхідно шукати інший спосіб обчислення маси неоднорідної пластини.
Геометрію пластини опишемо аналітично як деяку область D площини ХОУ. Закон зміни густини в межах області D відомий, . Значення маси неоднорідної пластини обчислюють як сукупну величину в точках області D. Для знаходження маси будують математичну модель, в основу якої покладена ідея складання інтегральної суми. Математичні моделі складаються в двовимірному Евклідовому просторі.
При побудові математичної моделі наближене значення шуканої величини F в області D визначають як суму нескінченно малих величин. Це дозволяє зменшити похибку обчислень. Точне значення шуканої величини F відповідає границі послідовності її наближених значень, одержаних при різних способах формування інтегральних сум.
Побудова математичної моделі
Розглянемо в декартовій площині ХОУ квадровну область D, в точках якої визначена функція двох змінних, .
1. Розглянемо область D.
| Рис. 1.4 | Розіб’ємо довільним чином область D на частин , , які не мають спільних внутрішніх точок, і їх площі дорівнюють , . |
Площа області D дорівнює сумі таких площ . Якщо кількість частин розбиття збільшувати, , то навіть площа найбільшої з одержаних частин розбиття стає нескінченно малою величиною, ,
2. Будемо вважати, що для кожної частини розбиття в різних її точках значення функції відрізняються на нескінченно малі величини, які мають порядок малості більший за порядок малості площі частини розбиття . Тобто, можна вважати, що функція в точках частини розбиття є “ практично “ сталою. Тому у кожній частині розбиття виберемо довільну точку , в якій обчислимо значенні функції .
3. Знайдемо наближене значення шуканої величини в частині розбиття . Будемо вважати, що це значення пропорційне площі чистини розбиття. Коефіцієнт пропорційності дорівнює значенню функції у вибраній точці, . Таким чином, в межах частини розбиття значення шуканої величини наближено дорівнює добутку сталої на нескінченно малу величину, , і є нескінченно малою величиною, , порядок малості якої відповідає порядку малості площі частини розбиття .
4. Утворимо суму із наближених значень шуканої величини в частинах розбиття :
. (1.2)
Таку суму називають інтегральної сумою функції , яка відповідає заданому розбиттю області D та заданому вибору проміжних точок у частинах розбиття.
Інтегральна сума визначає наближене значення шуканої величини F в області D, . Точність обчислень збільшується при збільшенні подрібнення області D.
Рис. 1.5 | Наприклад. Розглянемо замкнену обмежену область D, яка є квадровною (рис. 1.5). За допомогою прямих паралельних до координатних осей та розіб’ємо область D на частини. Площа області D дорівнює сумі площ частин розбиття. Але обчислити площі елементарних частин розбиття, межі яких є кривими лініями досить важко (рис.1.4). |
Легко обчислюються площі прямокутників, довжини сторін яких дорівнюють , (рис.1.5);
; ; ;
Площа одного такого прямокутника дорівнює .
Сформуємо інтегральну суму при такому способі розбиття області D.
1. Розглянемо всі прямокутники, які повністю лежать в середині області D (рис.1.6).
| Рис. 1.6 | При та площі цих прямокутників стають нескінченно малими величинами, , оскільки розмір їх сторін прямує до нуля, , . |
Сума площ вписаних прямокутників наближається до площі області D:
при цьому, різниця між точним і наближеним значеннями площі стає нескінченно малою величиною, при та Зауваження. Аналогічним чином можна розглядати площі всіх прямокутників, які повністю або частково містять точки області D.
| Рис. 1.7 | Будемо розглядати прямокутники, які повністю або частково перекривають область D (рис.1.7). При збільшенні подрібнення розбиття сума площ таких прямокутників буде теж наближатись до площі області D. |
2. Будемо вважати, що в межах елементарного нескінченно малого прямокутника значення функції є “ практично “ сталим і дорівнює значенню функції у одній з його вершин, наприклад .
3. Знайдемо наближене значення шуканої величини в частині розбиття . Воно дорівнює добутку .
4. Складемо інтегральну суму функції в області D. Розглянемо суму
наближених значень шуканої величини в частинах розбиття, :
(1.3)
Така сума називається подвійноюінтегральною сумою функції в області D.
Подвійна інтегральна сума визначає наближене значення шуканої величини F в області D, .