Знайдемо границю подвійної інтегральної суми при , . Якщо вона існує, позначимо її:
(1.4)
Повернемось до інтегральної суми . Позначимо найбільшу з елементарних площ , .
Якщо інтегральна сума при має границю,
(1.5)
яка не залежить ні від способу розбиття області D на частини , ні від вибору точок , , в цих частинах, то ця границя називається подвійним інтегралом по області і позначається
(1.6)
Якщо існує границя інтегральної суми функції , то функція називається інтегровною в області D; D – область інтегрування; х, у – змінні інтегрування; (або ) – елемент площі.
Теорема 1.1. (достатні умови інтегровності функції).
Якщо функціянеперервна в замкненій квадровній області D, то вона інтегровна в цій області . Таким чином, існує границя інтегральної суми, формула (1.5), яка не залежить ні від способу розбиття області D на частини , ні від вибору проміжних точок в цих частинах.
Обидві границі, формули (1.4) і (1.5), відповідають точному значенню шуканої величини F . Отже справедлива рівність: