1. Лінійність подвійного інтеграла.
Якщо підінтегральна функція є лінійною комбінацією інтегрованих функцій, то подвійний інтеграл можна представити у вигляді аналогічної лінійної комбінації подвійних інтегралів:
(1.9)
де та – дійсні числа.
2. Адитивність подвійного інтеграла відносно області інтегрування.
Якщо область можна представити як об’єднання областей, які не мають спільних точок крім межових, то подвійний інтеграл можна обчислювати як суму подвійних інтегралів, обчислених по кожній з областей окремо:
(1.10)
де область D є об’єднанням двох областей, та , які не мають спільних внутрішніх точок.
Зауваження.Скориставшисьцією властивістю часто вдається проводити інтегрування по складним областям (рис. 1.9), розбивши їх на правильні області.
3. Існує середнє значення функції в області інтегрування:
(1.11)
де – площа області інтегрування D,
– деяка внутрішня точка області інтегрування D.
Якщо функція є інтегровною, то значення подвійного інтеграла дорівнює добутку середнього значення функції в області інтегрування на площу цієї області.
Зауваження. В області інтегрування D існує внутрішня точка , в
якій значення підінтегральної функції відповідає середньому значенню цієї функції в області інтегрування D .
Середнє значення підінтегральної функції в області інтегрування D можна обчислити за формулою:
(1.12)
4. Якщо в області D підінтегральна функція невід’ємна, , то
подвійний інтеграл приймає невід’ємні значення:
(1.13)
5. Якщо функції і визначені в одній і тій самій області D і в точках цієї області для значень функції має місце нерівність , то ця нерівність має місце і для подвійних інтегралів:
(1.14)
6. Оцінка подвійного інтеграла:
(1.15)
де – площа області D; і – відповідно найменше і найбільше значення підінтегральної функції в області D.
Подвійний інтеграл від функція , обмеженої в області інтегрування, приймає числове значення, яке задовольняє нерівність (1.15).