Обчислення подвійного інтеграла як границі інтегральної суми пов’язано із значними труднощами. Для спрощення обчислень подвійні інтеграли зводять до послідовного обчислення двох визначених інтегралів (двократного повторного інтегрування).
Розглянемо область D правильну в напряму осі ОУ (рис.1.8), обмежену прямими та , , і кривими та , для , то для подвійного інтеграла справедлива формула:
(1.16)
Якщо область D правильна в напряму осі ОХ (рис.1.9), обмежена прямими та , , і кривими та , для , то для подвійного інтеграла справедлива формула:
(1.17)
Інтеграли в правій частині формул (1.16) і (1.17) називають повторними інтегралами.
Повторні інтеграли в правих частинах цих рівностей називають інтегралами з різним порядком інтегрування.
Порядок інтегрування подвійних інтегралів
1. Обчислення повторних інтегралів починають з внутрішніх інтегралів.
Інтегрування ведеться по змінній, яка стоїть під знаком диференціала у внутрішньому інтегралі. Причому, змінну, по якій не проводиться інтегрування, вважають за сталу. В наслідок інтегрування одержують функцію однієї змінної, по якій не велося інтегрування:
, (1.18)
або
. (1.19)
2. Одержану функцію однієї змінної підставляють у зовнішній визначений інтеграл:
(1.20)
або
(1.21)
Для визначення меж інтегрування, при заміні подвійного інтеграла на повторні інтеграли (формули (1.16), (1.17)), можна користуватись системами нерівностей, формула (1.7) або (1.8), які описують правильну область інтегрування D.
Зауваження.Зовнішній інтеграл завжди має сталі межі, які характеризують інтервал значень змінної, по якій ведеться інтегрування у зовнішньому інтегралі. Межі внутрішнього інтеграла можуть бути як сталими так і функціями, в залежності від структури області інтегрування.
Зміна порядку інтегрування
Якщо область інтегрування є правильною в напряму обох осей і область можна описати системами нерівностей, формули (1.7) або (1.8), то в повторному інтегралі можна міняти порядок інтегрування,
Щоб змінити порядок інтегрування необхідно перейти від формули (1.16) до формули (1.17) або навпаки.
Значенняподвійного інтеграла не змінюється при зміні порядку інтегрування.
Зауваження. Якщо область інтегрування є правильною, але межі області складаються з декількох ділянок (більше чим дві криві, які описуються різними рівняннями), область інтегрування поділяють на декілька частин так, щоб кожну область можна було описати системами нерівностей, формули (1.7) або (1.8).
| Рис. 11 | Приклад 1.1. Розбиття області інтегрування на правильні у напряму осі ОУ області А, В, С (рис. 11), які описуються нерівностями: |
| Рис. 12 | Приклад 1.2. Розбиття області інтегрування на правильні у напряму осі ОХ області (рис. 12), які описуються нерівностями: |
Подвійні інтеграли обчислюють окремо для кожної з правильних областей. Для одержання відповіді всі обчисленні значення подвійних інтегралів сумують.
При розбитті області інтегрування, як показано у прикладі 1.1, подвійний інтеграл обчислюється як сума трьох інтегралів:
Кожен з подвійних інтегралів заміняють на повторний інтеграл:
При розбитті області інтегрування, як показано у прикладі 1.2, подвійний інтеграл обчислюється як сума чотирьох інтегралів:
Кожен з подвійних інтегралів заміняють на повторний інтеграл:
5) Застосування подвійних інтегралів.
Подвійні інтеграли мають важливе геометричне, механічне, фізичне та інше застосування. Ідею обчислення подвійних інтегралів, як границі інтегральної суми нескінченно малих, використовують при створенні математичних моделей для обчислення значень геометричних, фізичних та інших величин.