Корень из 2

Допустим противное: рационален, то есть представляется в виде несократимой дроби , где - целое число, а — натуральное число. Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

.

Отсюда следует, что чётно, значит, чётно и . Пускай , где целое. Тогда

 

Следовательно, чётно, значит, чётно и . Мы получили, что и чётны, что противоречит несократимости дроби . Значит, исходное предположение было неверным, и — иррациональное число.

 

Множества рациональных и иррациональных чисел вместе составляют множество действительных чисел.

Арифметические операции над действительными числами обладают следующими свойствами (основные законы алгебры).

1. a + b = b + a (переместительный закон сложения).
2. (a + b) + c = a + (b + c) (сочетательный закон сложения).
3. a + 0 = a (свойство нуля).
4. a + (–a) = 0 (свойство противоположного числа).
5. ab = ba (переместительный закон умножения).
6. ab(c) = a(bc) (сочетательный закон).
7. a(b + c) = ab + ac (распределительный закон умножения относительно сложения).
8. a · 1 = a (основное свойство единицы).
9. (существование обратного числа).

Сравнение действительных чисел производится совершенно аналогично сравнению рациональных чисел.

Если a > b, то b < a.

1. Если a > b и b > c, то a > c (свойство транзитивности).
2. Если a > b, то a + c > b + c.
3. Если a > b и c > 0, то ac > bc.
4. Если a > b и c < 0, то ac < bc.
5. Если a > b и c > d, то a + c > b + d.
6. Если a, b, c, d > 0, причём a > b и c > d, то ac > bd.
7. Если a > b и c < d, то a – c > b – d.
8. Если то
9. Если то для любого натурального числа n справедливо неравенство

Кратко: Понятие модуля действительного числа