ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 20

«Перпендикулярность прямых. Перпендикулярность прямой и плоскости»

Цель урока:

1) Обобщить теоретические знания по теме: «Перпендикулярность прямых. Перпендикулярность прямой и плоскости».

2) Рассмотреть алгоритмы решений заданий теме «Перпендикулярность прямых. Перпендикулярность прямой и плоскости», решить задачи.

3) Формировать умения прогнозировать собственную деятельность, умение организовать свою деятельность и анализировать ее.

Теоретический материал

Определение Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения.

Теорема 1 ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ. Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым в этой плоскости, проходящим через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна плоскости.

Теорема 2 1-ое СВОЙСТВО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Теорема 3 2-ое СВОЙСТВО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.

Пример 1: Докажите, что через любую точку прямой в пространстве можно провести перпендикулярную ей прямую.

Решение: пусть а - прямая и А - точка на ней. Возьмем любую точку Х вне прямой а и проведем через эту точку и прямую а плоскость . В плоскости через точку А можно провести прямую b, перпендикулярную а.

Пример 2: Докажите, что через любую точку А можно прoвести прямую, перпендикулярную данной плоскости .

Решение: Проведем в плоскости две пересекающиеся прямые с и b. Через точку их пересечения проведем плоскости и перпендикулярные прямым b и ссоответственно. Они пересекаются по некоторой прямой а. Прямая а перпендикулярна прямым bи с, значит и плоскости . Проведем теперь через точку А прямую d, параллельную а. По теореме 2 она перпендикулярна плоскости .

Пример 3: Докажите, что если прямая параллельна плоскости, то все ее точки находятся на одинаковом расстоянии от плоскости.

Решение: Пусть а - данная прямая и - данная плоскость. Возьмем на прямой а две произвольные точки Х и Y. Их расстояния до плоскости - это длины перпендикуляров ХХ₁и YY₁, опущенных на эту плоскость. По теореме 3 прямые ХХ₁ и YY₁ параллельны, следовательно, лежат в одной плоскости. Эта плоскость пересекает плоскость по прямойХ₁Y₁.Прямая а параллельна прямой Х₁Y₁, так как не пересекает содержащую её плоскость . Итак у четырехугольника ХХ₁YY₁противолежащие стороны параллельны. Следовательно, он параллелограмм, а значитХХ₁=YY₁. Задачи для самостоятельного решения

Задача №1: плоскости равностороннего треугольника АВС и квадратаВСDE перпендикулярны. Найдите расстояние от точки А до стороны DE, если АВ.

Задача №2: 1.Диагональ ВD ромба АВСD перпендикулярна к плоскости α. Как расположена по отношению к этой плоскости другая её диагональ?

Задача №3: Верхние концы двух вертикально стоящих столбов, удаленных на расстояние 4 м, соединены перекладиной. Высота одного столба 5 м, а другого - 8 м. Найдите длину перекладины.

Определение Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения.
Теорема 1 ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ. Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым в этой плоскости, проходящим через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна плоскости.
Теорема 2 1-ое СВОЙСТВО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
Теорема 3 2-ое СВОЙСТВО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.
Пример 1: Докажите, что через любую точку прямой в пространстве можно провести перпендикулярную ей прямую.
Решение: пусть а - прямая и А - точка на ней. Возьмем любую точку Х вне прямой а и проведем через эту точку и прямую а плоскость . В плоскости через точку А можно провести прямую b, перпендикулярную а.

Пример 2: Докажите, что через любую точку А можно прoвести прямую, перпендикулярную данной плоскости .
Решение: Проведем в плоскости две пересекающиеся прямые с и b. Через точку их пересечения проведем плоскости и перпендикулярные прямым b и ссоответственно. Они пересекаются по некоторой прямой а. Прямая а перпендикулярна прямым bи с, значит и плоскости . Проведем теперь через точку А прямую d, параллельную а. По теореме 2 она перпендикулярна плоскости .

Пример 3: Докажите, что если прямая параллельна плоскости, то все ее точки находятся на одинаковом расстоянии от плоскости.
Решение: Пусть а - данная прямая и - данная плоскость. Возьмем на прямой а две произвольные точки Х и Y. Их расстояния до плоскости - это длины перпендикуляров ХХ₁и YY₁, опущенных на эту плоскость. По теореме 3 прямые ХХ₁ и YY₁ параллельны, следовательно, лежат в одной плоскости. Эта плоскость пересекает плоскость по прямойХ₁Y₁.Прямая а параллельна прямой Х₁Y₁, так как не пересекает содержащую её плоскость . Итак у четырехугольника ХХ₁YY₁противолежащие стороны параллельны. Следовательно, он параллелограмм, а значитХХ₁=YY₁. Задачи для самостоятельного решения
Задача №1: плоскости равностороннего треугольника АВС и квадратаВСDE перпендикулярны. Найдите расстояние от точки А до стороны DE, если АВ.

Задача №2: 1.Диагональ ВD ромба АВСD перпендикулярна к плоскости α. Как расположена по отношению к этой плоскости другая её диагональ?

Задача №3: Верхние концы двух вертикально стоящих столбов, удаленных на расстояние 4 м, соединены перекладиной. Высота одного столба 5 м, а другого - 8 м. Найдите длину перекладины.