Иррациональным называется уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня или под знаком возведения в дробную степень. Одним из методов решения таких уравнений является метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень:
А) преобразуем заданное иррациональное уравнение к виду:
;
Б) возводим обе части полученного уравнения в n - ую степень:
;
В) учитывая, что , получаем уравнение
f(x) = g(x);
Г) решаем уравнение и делаем проверку, так как возведение обеих частей уравнения в четную степень может привести к появлению посторонних корней. Эта проверка осуществляется с помощью подстановки найденных значений переменной в исходное уравнение.
Пример . Решить уравнение
Решение.
Возведем обе части уравнения в квадрат.
x2 - 3 = 1;
Перенесем -3 из левой части уравнения в правую и выполним приведение подобных слагаемых.
x2 = 4;
Полученное неполное квадратное уравнение имеет два корня -2 и 2.
Произведем проверку полученных корней, для этого произведем подстановку значений переменной x в исходное уравнение.
Проверка.
При x1 = -2 - истинно:
При x2 = -2 - истинно.
Отсюда следует, что исходное иррациональное уравнение имеет два корня -2 и 2.
Пример . Решить уравнение .
Это уравнение можно решить по такой же методике как и в первом примере, но мы поступим иначе.
Найдем ОДЗ данного уравнения. Из определения квадратного корня следует, что в данном уравнении одновременно должны выполнятся два условия:
а) x - 9 0;
x 9;
б) 1 - x 0;
-x -1 ;
x 1.
ОДЗ данного уранения: x .
Ответ: корней нет.
Виды неравенств
Пример:Решить неравенство
Решение.
Частное двух чисел положительно в том случае, когда и делимое, и делитель положительны, или они отрицательны. Опираясь на это утверждение составим совокупность двух систем неравенств.
Сначала решим систему неравенств
Первая система равносильна неравенству х > 1.
Теперь, решаем систему неравенств:
Вторая система равносильна неравенству x < -1.
Ответ: x >1 и x < -1.
Пример:Решить неравенство (1). .
Решение. Вычтем из обеих частей неравенства функцию получим неравенство 3х > 9.
Разделим обе части полученного неравенства на положительное число 3 в результате получим x > 3 (2). Выполнив это преобразование, мы заменили неравенство (1) неравенством (2). Эти неравенства не равносильны.(1) (2).
M = (- ; 8) (8; + )- ОДЗ неравенства (1).
B = (3; + ) - это решение неравенства (2).
Найдем множество решений неравенства (1)
A = B M =((- ; 8) (8; + ) (3; + ) = (3; 8) (8; + ),
Ответ: x (3; 8) (8; + ).