Нехай потрібно знайти розв’язок хвильового рівняння
, (1)
де – швидкість поширення хвилі, яке задовольняє початкові
, (2)
та крайові умови
(3)
Шукаємо розв’язок задачі (1)-(3) у вигляді добутку двох функцій
.
Підставивши цей вираз до рівняння (1), отримаємо рівність
.
Розділивши його на добуток , ми відокремимо змінні:
.
Ця рівність можлива тільки в тому випадку, якщо обидві її частини окремо дорівнюють одній і тій самій сталій. Позначивши її через , приходимо до двох звичайних диференціальних рівнянь другого порядку:
, (4)
. (5)
Загальні розв’язки цих рівнянь мають вигляд
, (6)
, (7)
де – довільні сталі.
Сталі і можна знайти, користуючись крайовими умовами (3).
. (8)
Розв’яжемо задачу (4), (8), яка називається задачею Штурма-Ліувілля.
.
.
Таким чином, . (9)
Підставляючи знайдені значення в (7), отримуємо
. (10)
Помноживши (9) і (10), ми отримаємо сукупність функцій:
,
де , .
Так як рівняння (1) лінійне та однорідне, то сума розв’язків також являється розв’язком, яке можна представити у вигляді ряда
.
При цьому розв’язок повинен задовольняти початковим умовам:
.
.