Знайти розв’язок задачі про вимушені коливання струни під дією зовнішніх сил
(), (11)
, (12)
. (13)
Розв’язування. Представимо розв’язок задачі (11)–(12) у вигляді
. (14)
Функція задовольняє рівняння (11) та крайові умови (13). Тоді отримаємо задачу для :
, (15)
. (16)
Загальним розв’язком рівняння (15) є функція . Довільні сталі і знайдемо з умов (16):
;
.
Таким чином, розв’язок задачі (15)–(16) має вигляд
. (17)
Підставимо функцію (17) у вираз (14) і отримуємо задачу для :
, (18)
(19)
. (20)
Задачу (18)-(19) розв’яжемо методом Фур’є. У нашому випадку , а . Звідси . Знайдемо :.
====
==.
Таким чином, розв’язок задачі (18)–(20) має вигляд
. (21)
Підставляючи знайдені функції (17) та (21) у вираз (14), отримуємо розв’язок даної задачі (11)–(13)
.