Розглянемо задачу Діріхле для рівняння Лапласа у прямокутнику
, , (1)
, , (2)
, . (3)
Задачу (1)–(3) розіб’ємо на дві задачі, кожна з яких має однорідні крайові умови по одній зі змінних. Нехай , де і є відповідно розв’язки таких задач у прямокутнику:
(4) (5)
Розв’язок задачі (4) методом Фур’є має вигляд
, (6)
де , . (6')
Розв’язок задачі (5) методом Фур’є має вигляд
, (7)
де , . (7')
Таким же чином можна розв’язувати крайову задачу для рівняння Лапласа у прямокутнику з іншими крайовими умовами.