Порядок старшей производной функционального оператора - функция определяет порядок УрЧП.
Если функциональное выражение содержит искомуюфункцию ивсе еепроизводные в первой степени,то УрЧП- линейное,
в противном случае– нелинейное.
Линейное УрЧПпервого порядкасодержитпроизводные только первого порядкаи коэффициенты - функции независимых переменных
(2)
Линейное УрЧПвторого порядкасодержитпроизводные первого и второго порядкови коэффициенты ,- функции независимых переменных
(3)
Задать линейное УрЧП– это задать коэффициентылевой части иправую частьуравнения в области .
УрЧП называется однородным, если правая частьегоравна нулю, в противном случае – неоднородным.
Если коэффициенты левой части УрЧП постоянные числа, то уравнение называется линейным уравнением с постоянными коэффициентами.
(4)
(5)
Каноническая формалинейного УрЧП второго порядка с постоянными коэффициентами содержит минимальное число производных второго порядка(преобразованием исходной системы координат достигается таким образом, чтобы в новой системе коэффициенты при вторых несмешанных производных равнялись нулю)
(6)
где новые коэффициенты имеют выражения
-коэффициенты при первых производных
-коэффициенты при вторых производных
1.1.1. Характеристики УрЧП. Кривые , на которых новые коэффициенты равны нулю – называются характеристиками. Дифференциальные уравнения характеристик
-для гиперболических (две различные характеристики с действительными показателями)
-для эллиптических (две различные характеристики с комплексно – сопряженными показателями)
-для параболических (одна характеристика с одним действительным показателем )