В основе описания окружающих нас явлений средствами математики лежит понятие соответствия между множествами. Оно, как и понятие множества, относится к неопределяемым понятиям. Дадим описание соответствия между множествами. Рассмотрим два множества и . Обратим внимание на то, что число элементов в этих множествах может быть различным и необязательно конечным. Для элемента выделим во множестве элемент и назовем его соответственным для . Для элемента выделим в , например, три элемента , которые будут соответственными для . Для элемента в качестве соответственного возьмем , для элемента выберем соответственными и . Продолжая далее эту процедуру, мы для каждого элемента множества найдем соответственные элементы во множестве . В результате получим соответствие между двумя множествами. Из всевозможных соответствий наиболее важное значение имеют такие, при которых каждому элементу сопоставляется только один элемент множества . Такие соответствия называют функциями.
Определение 3.1. Соответствие, при котором каждому элементу сопоставляется единственный элемент , называется функцией одной переменной и обозначается символом . При этом элементы множества называют аргументами, а само множество называют областью определения функции и обозначают символом . Тот элемент , который соответствует элементу , называют образом элемента , или значением функции и обозначают символом , а сам элемент называют прообразом элемента . Множество всех образов элементов множества называют множеством значений функции и обозначают символом .
Обратим внимание на то, что множество значений функции является подмножеством множества . Это подмножество может быть несобственным (когда ), но может быть и собственным (когда во множестве существуют элементы, не являющиеся значениями функции ). При описании различных явлений реальной действительности математическими средствами часто используются функции, аргументом которых является время.
Графиком функции с областью определения называют множество точек плоскости с координатами , где пробегает всю область определения .
Основными способами задания функций являются аналитический, графический и табличный. Аналитическим способом называют задание функции формулой вида . Если при этом ничего не говорится об области определения, то ее считают такой, в которой формула имеет смысл. Например, формула задает функцию, областью определения которой являются все действительные значения , кроме , при котором знаменатель дроби обращается в нуль и формула теряет смысл.
Графический способ задания функции состоит в задании функции ее графиком.
Если же функция задана таблицей вида
| … | ||||
| … |
то говорят, что функция задана табличным способом.
Рассмотрим понятие обратной функции. Пусть имеем функцию с областью определения и множеством значений . Другими словами, нам задано соответствие, при котором каждому значению сопоставляется только одно значение . При этом необязательно различные значения должны иметь различные образы. Важно лишь, чтобы для каждого образ был единственный. Однако если любые два различные значения имеют различные образы, то появляется возможность установить обратное соответствие между множествами и так, чтобы каждому значению сопоставлялся единственный , тот самый, для которого рассматриваемый являлся образом функции . Это обратное соответствие называют обратной функцией для функции и обозначают символом . Таким образом, если , то . Очевидно, что если функция с областью определения и множеством значений имеет обратную, то для функции множество будет областью определения, а множество множеством значений.
Не следует думать, что всякая функция имеет обратную. Например, функция обратной не имеет, так как любые два противоположных значения имеют один и тот же образ . Поэтому при обратном соответствии каждому положительному значению придется сопоставлять два (противоположных) значения , а такое соответствие функцией не является. Однако если рассмотреть функцию при , то для нее существует обратная функция .
Рассмотрим теперь три множества . Допустим, что каждому значению функция сопоставляет единственное значение , а каждому значению функция сопоставляет единственное значение . Тогда с помощью функций и каждому значению можно поставить в соответствие единственный элемент множества . Это соответствие называют сложной функцией (или суперпозицией) с областью определения и обозначают символом . Например, если , а , то .
Легко видеть, что можно рассмотреть суперпозицию не только двух, но и трех, четырех и т.д. функций. Так для функций суперпозицией будет функция .