Функции , где , называют основными элементарными функциями.
Определение 3.2. Суммой (произведением) функций , , , определенных на одном и том же множестве , называют функцию такую, что .
Определение 3.3. Отношением двух функций и , определенных на множестве , называется функция такая, что .
Определение 3.4. Элементарной называют функцию, аналитическое выражение которой содержит лишь конечное число арифметических операций и конечное число суперпозиций основных элементарных функций.
Примерами элементарных функций могут служить функции
; .
Рассмотрим классификацию функций по их свойствам.
Определение 3.5. Функция , определенная на множестве , называется ограниченной сверху (снизу) если множество значений этой функции ограничено сверху (снизу), т.е.
Таким образом, понятие ограниченности функции сводится к понятию ограниченности множества ее значений. Если функция ограничена одновременно и снизу и сверху, то ее называют ограниченной, в противном случае – неограниченной.
Примерами ограниченных функций могут служить функции и , так как и . Функции и являются неограниченными.
Определение 3.6. Функция называется монотонно возрастающей (убывающей) на множестве , если .
Монотонно возрастающие и монотонно убывающие функции называют общим термином – монотонные функции. Если же в определении 3.6 вместо условия
будет выполняться условие
,
то функцию называют неубывающей (невозрастающей) на . Неубывающие и невозрастающие функции называют общим термином – нестрого монотонные функции.
Исследуем, например, на монотонность функцию . Возьмем произвольно два значения и из области определения данной функции такие, что . Покажем, что . Для этого рассмотрим разность . Применяя формулу разности кубов, получаем
.
Первая скобка отрицательна в силу выбора и , а вторая скобка представляет собой неполный квадрат разности, который всегда положителен. Таким образом, , или . Поскольку и выбирались произвольно, то по определению 3.6 функция является монотонно возрастающей во всей области определения.
Монотонность функции является достаточным условием существования обратной функции . Действительно, если функция монотонно возрастает (убывает), то любым двум неравным значениям аргумента будут соответствовать два различных значения функции: большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции. Поэтому каждое значение аргумента имеет лишь единственный образ, а, следовательно, существует обратная функция.
Множество называют симметричным, если вместе с любым своим элементом оно содержит и противоположный элемент . Примерами симметричных множеств являются: ; , а множество симметричным не является, так как оно содержит элемент , но не содержит элемент .
Определение 3.7. Функция определенная на симметричном множестве , называется четной (нечетной), если .
Не следует думать, что все функции делятся на четные и нечетные. Если, например, область определения некоторой функции не является симметричным множеством, то проверить условие четности или нечетности просто невозможно, а, следовательно, такая функция не является ни четной, ни нечетной. Однако симметричности области определения функции недостаточно для выполнения одного из условий определения 3.7. Например, для функции , определенной на симметричном множестве , . Следовательно, равенство выполняется только при и не выполняется при остальных . Значит, функция не является четной. Равенство имеет вид , или и не выполняется ни при каких действительных . Поэтому данная функция не может быть нечетной. Таким образом, функция не является ни четной, ни нечетной. Такие функции называют функциями общего вида. С геометрической точки зрения исследование функций на четность или нечетность представляет собой исследование симметричности графика. График четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Определение 3.8. Функцию , определенную на множестве , называют периодической, если . Число при этом называют периодом функции.
Из определения 3.8 следует, если функция является периодической с периодом , то область определения такой функции также должна быть периодической с периодом , т.е вместе с каждым значением она должна содержать также значения и . Нетрудно доказать, что если функция периодическая и – ее период, то числа , где - натуральное число, также являются периодами функции . Наименьший положительный период называют основным периодом. В природе и технике с помощью периодических функций описывают явления, периодически повторяющиеся через некоторые промежутки времени. Например, все тригонометрические функции являются периодическими. Основной период для функций и равен , а для функций и равен .