ТЕОРЕМА 3.1. Если последовательность имеет предел, то он единственный.

 

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим противное, что последовательность имеет более одного предела. Возьмем два из них и ( ). Рассмотрим число > 0. Для него из того, что найдем номер такой, что

 

. (1)

 

Для того же из того, что найдем номер такой, что

 

. (2)

 

Выберем теперь из и наибольшее, обозначив его через . Тогда, начиная с , будут выполняться неравенства (1) и (2) одновременно. Следовательно, при всех , больших или равных , будем иметь:

.

Таким образом, . Сократив в неравенстве на , получаем , что неверно. Значит наше предположение о существовании у последовательности более одного предела ошибочно.

Теорема доказана.