ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим противное, что последовательность имеет более одного предела. Возьмем два из них и ( ). Рассмотрим число > 0. Для него из того, что найдем номер такой, что
. (1)
Для того же из того, что найдем номер такой, что
. (2)
Выберем теперь из и наибольшее, обозначив его через . Тогда, начиная с , будут выполняться неравенства (1) и (2) одновременно. Следовательно, при всех , больших или равных , будем иметь:
.
Таким образом, . Сократив в неравенстве на , получаем , что неверно. Значит наше предположение о существовании у последовательности более одного предела ошибочно.
Теорема доказана.