ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть для определенности имеем возрастающую и ограниченную последовательность . Так как ограниченность последовательности означает ограниченность множества , то множество имеет точную верхнюю грань. Пусть . Докажем, что последовательность сходится к числу . Зададим произвольно > 0 и рассмотрим число . По теореме 2.4 утверждаем, что среди членов последовательности найдется такой что . Учитывая возрастание последовательности , мы получаем справедливость утверждения . С другой стороны, , поскольку при всех справедливо неравенство . Поэтому имеем: . Это и значит, что
Теперь легко понять, что если бы последовательность являлась убывающей, то .
Замечание. Легко видеть, что утверждение теоремы 3.3 останется справедливым, если строгую монотонность последовательности заменить нестрогой.