ТЕОРЕМА 3.4. Если последовательность сходится к числу , а последовательность сходится к числу и при этом , то .

 

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим противное, что . Рассмотрим число . Для него и . Пусть . Тогда для всех будем иметь:

и .

Учитывая, что , получаем цепочку неравенств:

,

из которой вытекает , или , что равносильно утверждению 1< , которое неверно. Получили противоречие, которое и заставляет нас отказаться от предположения, что . Следовательно, . Теорема доказана.

 

Замечание. Если в условии теоремы заменить нестрогое неравенство на строгое неравенство , то заключение теоремы не изменится: по прежнему можно лишь утверждать, что , но не . Это наглядно иллюстрируется следующим примером. Пусть ; . Ясно, что при любом , но .