ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим противное, что . Рассмотрим число . Для него и . Пусть . Тогда для всех будем иметь:
и .
Учитывая, что , получаем цепочку неравенств:
,
из которой вытекает , или , что равносильно утверждению 1< , которое неверно. Получили противоречие, которое и заставляет нас отказаться от предположения, что . Следовательно, . Теорема доказана.
Замечание. Если в условии теоремы заменить нестрогое неравенство на строгое неравенство , то заключение теоремы не изменится: по прежнему можно лишь утверждать, что , но не . Это наглядно иллюстрируется следующим примером. Пусть ; . Ясно, что при любом , но .