ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как – ограниченная последовательность, то
.
Пусть . Тогда . Выберем произвольно и для числа найдем номер такой, что . Тогда при всех получим = . Это и значит, что последовательность является бесконечно малой последовательностью.
Последовательность , где некоторое число, называют постоянной. Все ее члены равны . Очевидно, что такая последовательность является ограниченной и сходящейся. Ее пределом является число : .
Следствие 1 Если – бесконечно малая последовательность, а – некоторое действительное число, то является бесконечно малой последовательностью.
Следствие 2 Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.
Следствие 3 Если – бесконечно малых последовательностей, а – действительные числа, то последовательность ( ) является бесконечно малой.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВА этих следствий непосредственно вытекают из теорем 3.7 и 3.8.
Определение 3.13. Последовательность называют бесконечно большой, если , т.е. если