ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Покажем сначала, что в условиях теоремы последовательность является ограниченной. По условию .
Пусть для определенности . Выберем произвольно так, чтобы и найдем для него , начиная с которого выполняется условие , или . Учитывая, что все части последнего неравенства положительны, запишем его в виде , который и показывает ограниченность последовательности .
Пусть далее ; , где и – бесконечно малые последовательности. Тогда
. (***)
Поскольку является бесконечно малой последовательностью, а – ограниченная последовательность, то правая часть равенства (***) является бесконечно малой последовательностью и, следовательно, по теореме 3.6 последовательность сходится к .