ТЕОРЕМА 3.11. Если последовательность сходится к числу ; последовательность сходится к числу , то последовательность сходится к числу .

 

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Покажем сначала, что в условиях теоремы последовательность является ограниченной. По условию .

Пусть для определенности . Выберем произвольно так, чтобы и найдем для него , начиная с которого выполняется условие , или . Учитывая, что все части последнего неравенства положительны, запишем его в виде , который и показывает ограниченность последовательности .

Пусть далее ; , где и – бесконечно малые последовательности. Тогда

 

. (***)

 

Поскольку является бесконечно малой последовательностью, а – ограниченная последовательность, то правая часть равенства (***) является бесконечно малой последовательностью и, следовательно, по теореме 3.6 последовательность сходится к .