Пусть имеем две бесконечно малые последовательности и . Составим новую последовательность и попытаемся найти ее предел. Легко видеть, что мы не можем использовать теорему 3.11, так как . Чтобы глубже вникнуть в суть проблемы, обратимся к примерам.
1)Пусть . Тогда .
2)Пусть . Тогда .
3)Пусть . Тогда . А этот предел не существует.
Рассмотренные примеры показывают, что на вопрос « Чему равен предел отношения двух бесконечно малых последовательностей?» определенного ответа дать нельзя. Поэтому предел отношения двух бесконечно малых последовательностей называют неопределенностью типа Вычисление подобных пределов называют раскрытием неопределенности, используя при этом различные специальные приемы.
Кроме неопределенности типа бывают и другие. Рассмотрим их.
Представим отношение двух бесконечно малых последовательностей и в следующем виде . Так как является бесконечно большой (см.теорему 3.8), то получаем неопределенность типа .
Отношение можно также представить в виде . Получим неопределенность типа .
Заметим, что неопределенность типа можно также представить следующим образом: . Получим неопределенность типа .
К неопределенностям также относятся выражения вида:
а) , где (неопределенность типа );
б) , где (неопределенность типа );
в) , где (неопределенность типа ).
Иногда приходится сравнивать между собой бесконечно малые (большие) последовательности. Пусть и – бесконечно малые последовательности. Если , то называют бесконечно малой последовательностью более высокого порядка по сравнению с . Этот факт обозначают символом и читают: есть о малое от .
Если , то . Если , то и называют бесконечно малыми последовательностями одного порядка. Этот факт обозначается символом и читается: есть О большое от . В частности, если , то и называются эквивалентными, и это обозначается символом ~ .
Зная связь бесконечно малых последовательностей с бесконечно большими (теорема 3.8), легко сравнить и бесконечно большие последовательности.